Багато з нас напевно чули про теорію ймовірностей - особливому розділі математики, який вивчає закономірності у випадкових явищах, випадкові події, а також їх властивості. І якраз одним із завдань теорії ймовірностей є дуже цікавий і, здавалося б, такий, що суперечить здоровому глузду парадокс Монті Холла, названий так на честь провідного американського телешоу «Let's Make A Deal». З цим парадоксом ми і хочемо вас сьогодні познайомити.
Визначення феномена Монті Холла
Відповідно до неї, людина повинна представити себе учасником гри, де потрібно вибрати одну двері з трьох.
За одними дверима ховається автомобіль, а за іншими - кози. Гравець повинен вибрати одну двері, наприклад, двері №1.
А ведучий, знає про те, що знаходиться за кожними дверима, відкриває одну з двох дверей, які залишилися, наприклад, двері №3, за якою стоїть коза.
Після цього ведучий цікавиться у гравця, чи не бажає він змінити свій початковий вибір і вибрати двері №2?
Питання: чи підвищаться шанси гравця на виграш, якщо він змінить свій вибір?
Наприклад, ведучий гри може вибрати стратегію «пекельного Монті», пропонуючи змінити вибір тільки в тому випадку, якщо гравець спочатку вгадав двері, за якими знаходиться автомобіль.
І стає ясно, що зміна вибору призведе до стовідсоткового програшу.
Тому, найбільшу популярність отримала постановка задачі з особливою умовою №6 зі спеціальної таблиці:
- Автомобіль може з однаковою ймовірністю перебувати за кожними дверима
- Ведучий завжди зобов'язаний відкривати двері з козою, крім тієї яку вибрав гравець, і пропонувати гравцеві можливість зміни вибору
- Ведучий, маючи можливість відкрити одну з двох дверей, вибирає будь-яку з однаковою ймовірністю
Представлений нижче розбір парадоксу Монті Холла розглядається саме з урахуванням цієї умови. Отже, розбір парадоксу.
Розбір парадоксу Монті Холла
Є три варіанти розвитку подій:
Під час вирішення представленої задачі зазвичай наводяться такі міркування: провідний в кожному випадку прибирає одні двері з козою, отже, ймовірність знаходження автомобіля за однією з двох закритих дверей прирівнюється до ½, незалежно від того, який вибір був зроблений спочатку. Однак це не так.
Сенс в тому, що, роблячи перший вибір, учасник розділяє двері на A (обрану), B і C (залишилися). Шанси (P) на те, що машина стоїть за дверима A, рівні 1/3, а на те, що вона за дверима B і C рівні 2/3. І шанси на успіх при виборі дверей B і C обчислюються так:
P (B) = 2/3 * ½ = 1/3
P (C) = 2/3 * ½ = 1/3
Де ½ є умовною ймовірністю того, що машина знаходиться саме за цими дверима, за умови, що машина не за тими дверима, що вибрав гравець.
Ведучий, відкриваючи свідомо програшну двері з двох, що залишилися, повідомляє гравцеві 1 біт інформації і змінює тим самим умовні ймовірності для дверей B і C на значення 1 і 0. Тепер шанси на успіх будуть обчислюватися так:
І виходить, що якщо гравець змінить свій початковий вибір, то його шанс на успіх буде дорівнює 2/3.
Пояснюється це наступним чином: змінюючи свій вибір після маніпуляцій ведучого, гравець виграє, якщо спочатку він вибрав двері з козою, тому що провідний відкриває другі двері з козою, а гравцеві залишається лише поміняти двері. Вибрати ж спочатку двері з козою можна двома способами (2/3), відповідно, якщо гравець замінить двері, то виграє з ймовірністю 2/3. Саме через суперечності такого висновку інтуїтивного сприйняття завдання і отримала статус парадоксу.
Інтуїтивне сприйняття говорить про наступне: коли ведучий відкриває програшну двері, перед гравцем встає нове завдання, на перший погляд не пов'язана з початковим вибором, тому що коза за відкривається провідним дверима буде там в будь-якому випадку, незалежно від того, програшну або виграшну двері спочатку вибрав гравець.
Після відкриття провідним двері гравець повинен знову зробити вибір - або зупинитися на колишньої двері, або вибрати нову. Це означає, що гравець робить саме новий вибір, а не змінює початковий. І математичним рішенням розглядаються дві послідовні і пов'язані один з одним завдання ведучого.
Але потрібно мати на увазі, що ведучий відкриває двері саме з тих двох, які залишилися, але не ту, що вибрав гравець. А значить, шанс на те, що машина знаходиться за залишилася дверима, збільшуються, тому що провідний її не вибрав. Якщо ж ведучий знає, що за обраної гравцем дверима стоїть коза, все-таки її відкриє, він тим самим свідомо знизить ймовірність того, що гравець вибере правильну двері, адже ймовірність успіху стане дорівнює ½. Але це вже гра за іншими правилами.
А ось ще одне пояснення: припустимо, гравець грає за представленою вище системі, тобто з дверей B або C завжди вибирає ту, що відрізняється від початкового вибору. Програє він в тому випадку, якщо спочатку вибрав двері з автомобілем, тому що згодом вибере двері з козою. У будь-якому іншому випадку гравець виграє, якщо спочатку вибрав програшний варіант. Однак імовірність того, що спочатку він вибере його, дорівнює 2/3, з чого випливає, що для успіху в грі спочатку потрібно зробити помилку, ймовірність якої в два рази більше ймовірності правильного вибору.
Третє пояснення: уявімо, що дверей не 3, а 1000. Після того як гравець зробив вибір, що веде прибирає 998 непотрібних дверей - залишаються тільки двоє дверей: обрана гравцем і ще одна. Але шанс на те, що машина за кожною з дверей зовсім ½. Швидше за все (0,999%) машина буде за тими дверима, яку гравець не вибрав спочатку, тобто за дверима, відібраної із залишених після першого вибору 999 інших. Приблизно так само потрібно і міркувати при виборі з трьох дверей, нехай шанси на успіх і знижуються і стають 2/3.
І останнє пояснення - заміна умов. Припустимо, що замість того, щоб робити початковий вибір, наприклад, двері №1, і замість відкриття дверей №2 або №3 провідним, гравець повинен зробити вірний вибір з першого разу, якщо йому відомо, що ймовірність успіху з дверима №1 дорівнює 33 %, але про відсутність машини за дверима №2 і №3 він не знає нічого. З цього випливає, що шанс на успіх з останньої дверима становитиме 66%, тобто ймовірність перемоги збільшується вдвічі.
Але яким буде стан справ, якщо ведучий стане вести себе інакше?
Розбір парадоксу Монті Холла при іншому поведінці ведучого
У класичній версії парадоксу Монті Холла йдеться, що ведучий шоу повинен обов'язково надати гравцеві вибір двері, незалежно від того, вгадав гравець чи ні. Але ведучий може і ускладнити свою поведінку. наприклад:
- Ведучий пропонує гравцеві змінити свій вибір, якщо він спочатку вірний - гравець завжди програє, якщо погодиться змінити вибір;
- Ведучий пропонує гравцеві змінити свій вибір, якщо він спочатку не вірний - гравець завжди переможе, якщо погодиться;
- Ведучий відкриває двері навмання, не знаючи, що десь стоїть - шанси гравця на виграш при зміні двері завжди будуть складати ½;
- Ведучий відкриває двері з козою, якщо гравець, дійсно, вибрав двері з козою - шанси гравця на виграш при зміні двері завжди будуть складати ½;
- Ведучий завжди відкриває двері з козою. Якщо гравець вибрав двері з машиною, ліві двері з козою буде відкриватися з ймовірністю (q) дорівнює p, а права - з ймовірністю q = 1-p. Якщо ведучий відкрив двері зліва, то ймовірність виграшу розраховується як 1 / (1 + p). Якщо ведучий відкрив двері праворуч, то: 1 / (1 + q) .Але ймовірність того, що будуть відкриті двері праворуч, дорівнює: (1 + q) / 3;
- Умови з прикладу вище, але p = q = 1/2 - шанси гравця на виграш при зміні двері завжди будуть складати 2/3;
- Умови з прикладу вище, але p = 1, а q = 0. Якщо ведучий відкриє двері праворуч, то зміна гравцем вибору призведе до перемоги, якщо будуть відкриті двері зліва, то ймовірність перемоги стане дорівнює ½;
- Якщо ведучий завжди буде відкривати двері з козою, коли гравцем обрана двері з автомобілем, і з імовірністю ½, якщо гравцем обрана двері з козою, то шанси гравця на виграш при зміні двері завжди будуть складати ½;
- Якщо гра повторюється безліч разів, а машина знаходиться за тією чи іншою дверима завжди з однаковою ймовірністю, плюс з однаковою ймовірністю провідним відчиняються двері, але ведучий знає, де машина і завжди ставить гравця перед вибором, відкриваючи двері з козою, то ймовірність перемоги буде дорівнює 1/3;
- Умови з прикладу вище, але ведучий взагалі може не відкривати двері - шанси гравця на виграш будуть складати 1/3.
Такий парадокс матні Холла. Перевірити його класичний варіант на практиці досить просто, але набагато складніше буде провести експерименти зі зміною поведінки ведучого. Хоча для допитливих практиків і це можливо. Але не важливо, станете ви перевіряти парадокс Монті Холла на особистому досвіді чи ні, тепер ви знаєте деякі секрети ігор, що проводяться з людьми на різних шоу і телепередачах, а також цікаві математичні закономірності.
РІШЕННЯ ПАРАДОКСІВ: 1. «Що було раніше: яйце чи курка?» Даються два поняття «ЯЙЦЕ» і «КУРКА» і в РЯДУ ПОСЛІДОВНО розгортається ПОНЯТИЙ (РПРП) потрібно знайти поняття попередні до кожного з них. У РПРП для "ЯЙЦЯ" попереднім є "КУРКА", бо поняттям «ембріон» (або іншими) не цікавить нас з постановки питання ми можемо знехтувати. У РПРП для "КУРКА" знехтуваних поняттям є «курча», але не «тріснутого яйце (з якого намагається вилупитися курча)», адже в постановки питання акцентовано увагу на обов'язковості розгляду лише яйця цілісного стану, т. Е. Для "КУРКА" попереднім є не те поняття на якому акцентує питання, а його різновид. ВИСНОВОК: "КУРКА" 2. Дається поняття "Недвіжущегося (Ахіллес)". який не перебуває в РПРП і відсутність динамічного стану у якого завуальовано переміщеннями, яку слідуючи Зенону виробляємо і ми переставляючи це поняття на попередні позиції в РПРП поняття "Рухомого (черепаха)" - ось в цьому і вся загадка цього Апорія Зенона. У такій постановці питання навіть Усейну Болта не змагатися з черепахою.