Сходяться послідовності і їх властивості
Розглянемо числові послідовності.
Послідовність (xn) дійсних чисел називаетсясходящейся. якщо існує дійсне чіслоa і для проізвольногоε> 0 існує натуральне чіслоm таке, що для всехn> m справедливо нерівність | xn -a | <ε .
При цьому число a називаютпределом послідовності (xn), що символічно запісиваютіліxn → a пріn → ∞.
За допомогою логічних символів визначення запишеться наступним чином: числова послідовність (xn) називаетсясходящейся. якщо
Питання 6! Нескінченно великі і нескінченно малі послідовності
Визначення. послідовність <хn> називається нескінченно великою, якщо для як завгодно великого будь-якого позитивного числа А існує номер N. залежить від цього числа А. такої, що для всіх наступних номерів n> N виконується нерівність | xn |> A.
Зауваження. Очевидно, що будь-яка нескінченно велика послідовність є необмеженою. Однак необмежена послідовність може і не бути нескінченно великою. Наприклад, необмежена послідовність 1, 2, 1, 3, ..., 1, n + 1, ... не є нескінченно великою, оскільки при A> 1 нерівність | xn |> A виконується не для всіх елементів xn з непарними номерами. Визначення. Послідовність n> називається нескінченно малою, якщо для будь-якого як завгодно малого позитивного числа ε> 0 існує номер N. залежить від цього ε, такий, що для будь-яких n> N виконується нерівність | αn | <ε:
Зв'язок між нескінченно малими і нескінченно великими послідовностями
Теорема 1. Якщо <хn> - нескінченно велика послідовність і всі її члени відмінні від нуля, то послідовність
нескінченно мала, і, назад, якщо n> - нескінченно мала послідовність і всі її члени відмінні від нуля n> ≠ 0, то послідовність <1 / αn> - нескінченно велика. Доведення. нехай <хn> - нескінченно велика послідовність. Візьмемо будь-як завгодно мале позитивне число ε> 0 і покладемо
Згідно з визначенням для цього існує такий номер N. що при n> N буде | xn |> A. Звідси отримуємо, що
для всіх n> N. А це означає, що послідовність
Питання 7. Теорема про обмеженість збіжної послідовності
Якщо послідовність має кінцевий межа, то послідовність обмежена. Визначення. Числова послідовність xn> обмежена, якщо існує таке кінцеве чіслоК. що для всіх n виконано
N. n> N. d (xn. A) <1.
Всередині околиці радіусаR = 1 нескінченне число точок, а поза цієї околиці кінцеве число точок, припустимо, що це точкіx1, x2. ... xN. виберемо число
,
тоді вже для всіх n буде виконано
Питання 8 !!
"Единственность межі числової послідовності"
Визначення: Якщо послідовність an має межу, то ця межа єдиний. Використовуються 3 основні стилі:
Доказ (від противного): Припустимо, що ця межа не єдиний, тобто існує 2-а границі послідовності, відмінних один від одного. lim (при n -> до безкінечності) an = в1; lim (при n -> до безкінечності) an = В2; в1 = в2Рассмотрім число А = (в1 + В2) / 2 (рисунок на прямий зі стрілочкою узятий відрізок В1В2 і А - середина відрізка) В1 Властивість №1: Нехай дана послідовність an lim (n прямує до нескінченності) an = в, в> @, то починаючи з деякого номера всі члени послідовності будуть менше @). Слідство: Якщо в> B, то починаючи з деякого номера, всі члени послідовності будуть більше B. Якщо @ <в Властивість №2: "Обмеженість послідовності має межу": Якщо lim (n прагне до нескінченності) an = в, то послідовність є обмеженою і для всіх її членів виполянет нерівність @ Теореми про границі: нехай є 2-е послідовності, => lim (n прямує до нескінченності) an = a; lim (n прямує до нескінченності) Вn = в -lim (n прямує до нескінченності) (an + Вn) = lim (n прямує до нескінченності) an + lim (n прямує до нескінченності) Вn = a + в-lim (n прямує до нескінченності) (an + Вn) = lim ( n прямує до нескінченності) an + lim (n прямує до нескінченності) Вn = a - в-lim (n прямує до нескінченності) (an * Вn) = lim (n прямує до нескінченності) an * lim (n прямує до нескінченності) Вn = a * в-lim (n прямує до нескінченності) (an / Вn) = lim (n прямує до нескінченності) an / lim (n прагне доСхожі статті