потік річчі

Рівняння потоку Річчі має вигляд:

де g t> позначає однопараметричне сімейство риманових метрик на повному різноманітті (залежить від матеріального параметра t), і R c t _> - її тензор Річчі.

  • Формально кажучи, система рівнянь R. задається потоком Річчі, не є параболічним рівнянням. Проте, існує параболічна система рівнянь R '. запропонована Детурком. така, що якщо g 0> ріманова метрика на компактному різноманітті M і g t>. g t '> - рішення систем R і R'. то (M. g t))> ізометрічни (M. g t ')')> для всіх t.
    • Ця конструкція суттєво спростила доказ існування рішення, вона називається «трюком Детурка».
  • Аналогічно рівняння теплопровідності (і іншим параболічних рівнянь), задавши довільні початкові умови при t = 0. можна отримати рішення лише в одну сторону по t. а саме t ⩾ 0.
  • На відміну від рішень рівняння теплопровідності, потік Річчі, як правило, не триває необмежено при t → ∞. Рішення триває на максимальний інтервал [0. T). У разі якщо T звичайно, при наближенні до T кривизна різноманіття йде до нескінченності, і в рішенні формується сингулярність. Саме на дослідженні сингулярностей, в які впираються потоки Річчі, і було засновано доказ гіпотези Терстона.
  • Псевдолокальность - якщо деяка околиця точки в початковий момент виглядає майже як шматок евклідового простору, то це властивість збережеться певний час в потоці Річчі у меншій околиці.

Зміна геометричних характеристик

  • Для обсягу volt _> метрики gt> правильне співвідношення ∂ ∂ t (dvolt) = - R t ⋅ (dvolt).> (\ Mathrm \, \ mathrm _) = - \ mathrm _ \ cdot (\ mathrm \, \ mathrm _ ).>
  • Для скалярної кривизни R t _> метрики g t> правильне співвідношення ∂ ∂ t R t = △ t R t + | R c t | 2> \ mathrm _ = \ triangle _ \ mathrm _ + | \ mathrm _ | ^>
де | R c t | 2 _ | ^> визначається як Σ i. j (R c (e i. e j)) 2 (\ mathrm (e_, e _)) ^> для ортонормированного репера \ >> в точці.
  • Зокрема, згідно з принципом максимуму потік Річчі зберігає позитивність скалярною кривизни.
  • Більш того, нижня межа скалярною кривизни не убуває.
  • Для кожного g 0> -ортонормірованного репера \ >> в точці x ∈ M існує так званий супутній g t> -ортонормірованний репер ^ \ >>. Для тензора кривизни R m t _>. записаного в цьому базисі, правильне співвідношення ∂ ∂ t R mt = △ t R mt + Q (R m t. R mt).> \ mathrm _ = \ triangle _ \ mathrm _ + Q (\ mathrm _, \ mathrm _) ,>
де Q - певна билинейная квадратична форма на просторі тензорів кривизни і зі значеннями в них.
  • Білінійна квадратична форма Q визначає векторне поле на векторному просторі тензорів кривизни - кожному тензора кривизни x приписується інший тензор кривизни v x = Q (x. X) = Q (x, x)>. рішення ОДУ
x ˙ = v x> = v_> грають важливу роль в теорії потоків Річчі.
  • Опуклі безлічі K в просторі тензорів кривизни, інваріантні щодо обертань і такі, що якщо в наведеному ОДУ x (0) ∈ K. то x (t) ∈ K при t ≥ 0. називаються інваріантними для потоку Річчі. Якщо кривизна ріманової метрики на замкнутому різноманітті в кожній точці належить такому K. то теж вірно і для метрик, одержуваних з неї потоком Річчі. Міркування такого сорту називаються «принципом максимуму» для потоку Річчі.
  • До інваріантним безлічам відносяться
  • Тензори кривизни з позитивною скалярною кривизною
  • Тензори кривизни з позитивним оператором кривизни
  • У тривимірному випадку, тензори кривизни з позитивним кривизною Річчі

розмірність 3

У разі, коли розмірність простору дорівнює 3, для кожного x і t можна підібрати репер ^ \ >>. в якому R m t _> діагоналізуется в базисі e 1 ∧ e 2 \ wedge e_>. e 2 ∧ e 3 \ wedge e_>. e 3 ∧ e ​​1 \ wedge e_>. скажімо,

Q (R m. R m) = (λ 2 + μ ⋅ ν 0 0 0 μ 2 + ν ⋅ λ 0 0 0 ν 2 + λ ⋅ μ). , \ Mathrm) = \ lambda ^ + \ mu \ cdot \ nu 00 \\ 0 \ mu ^ + \ nu \ cdot \ lambda 0 \\ 00 \ nu ^ + \ lambda \ cdot \ mu \ end>.>

Початок дослідженню потоку Річчі був покладений Гамільтоном на початку 1980-x. За допомогою потоків Річчі були доведені кілька гладких теорем про сферу.

Схожі статті