Виконуючи обчислення, завжди необхідно пам'ятати про ту точності, яку потрібно або яку можна отримати. Неприпустимо вести обчислення з великою точністю, якщо ці завдання не допускають або не вимагають цього (наприклад, семизначна таблиця логарифмів при обчисленнях з числами, що мають 5 вірних значущих цифр - надлишкова). Тверде знайомство з правилами наближених обчислень необхідно кожному, кому доводиться обчислювати.
похибки
Різниця між точним числом x і його наближеним значенням a називається похибкою даного наближеного числа. Якщо відомо, що | x - a | Ставлення D a / a = d a називається граничною відносною похибкою; останню часто висловлюють у відсотках. 3,14 є наближеним значенням числа p. похибка його дорівнює 0,00159. граничну абсолютну похибку можна вважати рівною 0,0016, а граничну відносну похибку v рівній 0.0016 / 3.14 = 0,00051 = 0,051%. Для стислості зазвичай слово? Предельная| опускається. Якщо абсолютна похибка величини a не перевищує однієї одиниці розряду останньої цифри числа a. то кажуть, що у числа все знаки вірні. Наближені числа слід записувати, зберігаючи тільки вірні знаки. Якщо, наприклад, абсолютна похибка числа 52400 дорівнює 100, то це число повинне бути записано, наприклад, у вигляді 524. 10 2 або 0,524. 10 5. Оцінити похибка наближеного числа можна, вказавши, скільки вірних значущих цифр зазначеним у ньому. При підрахунку значущих цифр не вважаються нулі з лівого боку числа. 1 куб.фут = 0.0283 м 3 - три вірних значущих цифри 1 дюйм = 2,5400 v п'ять вірних значущих цифр. Якщо число a має n вірних значущих цифр, то його відносна похибка d a T 1 / (z * d n -1), де z - перша значуща цифра числa a; d- підставу системи числення. У числа a з відносною похибкою d a вірні n значущих цифр, де n- найбільше ціле число, яке задовольняє нерівності (1 + Z) d a T d l-n. Якщо число a = 47,542 отримано в результаті дій над наближеними числами і відомо, що d a = 0,1%, то a має 3 вірних знака, так як (4 + 1) 0,001 T 10 v2. Якщо наближене число містить зайві (або невірні) знаки, то його слід округлити. При округленні зберігаються тільки вірні знаки; зайві знаки відкидаються, причому якщо перша відкидається цифра більше або дорівнює d / 2, то остання зберігається цифра збільшується на одиницю. При округленні виникає додаткова похибка, що не перевищує половини одиниці розряду останньої значущої цифри округленого числа. Тому, щоб після округлення все знаки були вірні, похибка до округлення повинна бути не більше половини одиниці того розряду, до якого припускають робити округлення. Результат дій над наближеними числами є також наближене число. Похибка результату може бути виражена через похибки первинних даних за допомогою наступних теорем: Гранична абсолютна похибка алгебраїчної суми дорівнює сумі граничних абсолютних похибок доданків. Відносна похибка суми укладена між найбільшою і найменшою з відносних похибок доданків. Відносна похибка твори або приватного дорівнює сумі відносних похибок співмножників або, відповідно, діленого і дільника. Відносна похибка n-го ступеня наближеного числа в n разів більше відносної похибки підстави (як у цілих, так і для дрібних n). Користуючись цими теоремами, можна визначити похибка результату будь-якої комбінації арифметичних дій над наближеними числами. Гранична абсолютна похибка свідомо перевершує абсолютну величину істинної похибки, оскільки граничне значення обчислюється в припущення, що різні похибки підсилюють один одного; практично це буває рідко. При масових обчисленнях, коли не враховують похибка кожного окремого результату, користуються такими правилами підрахунку цифр. При дотриманні цих правил можна вважати, що в середньому отримані результати матимуть все знаки вірними, хоча в окремих випадках можлива помилка в кілька одиниць останнього знака. При додаванні і відніманні наближених чисел в результаті слід зберігати стільки десяткових знаків, скільки їх в наближеному даному з найменшим числом десяткових знаків. При множенні і діленні в результаті варто зберігати стільки значущих цифр, скільки їх має наближене дане з найменшим числом значущих цифр. При зведенні в квадрат або куб в результаті слід зберігати стільки значущих цифр, скільки їх має споруджений в ступінь наближене число (остання цифра квадрата і особливо куба при цьому менш надійна, ніж остання цифра підстави). При збільшенні квадратного і кубічного коренів в результаті слід брати стільки значущих цифр, скільки їх має наближене значення подкоренного числа (остання цифра квадратного і особливо кубічного кореня при цьому більш надійна, ніж остання цифра подкоренного числа). У всіх проміжних результатах слід зберігати однією цифрою більш, ніж рекомендують попередні правила. В остаточному результаті ця? Запасная| цифра відкидається. Якщо деякі дані мають більше десяткових знаків (при додаванні і відніманні) або більше значущих цифр (при множенні, діленні, зведенні в ступінь, добуванні кореня), ніж інші, то їх попередньо слід округлити, зберігаючи лише одну зайву цифру. Якщо дані можна брати з довільною точністю, то для отримання результату з K цифрами дані слід брати з таким числом цифр, яке дає згідно з правилами 1-4 (К +1) цифру в результаті.округлення
Дії над наближеними числами
Схожі статті