Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з допомогою оберненої матриці (іноді цей спосіб називають ще матричних методом або методом зворотної матриці) вимагає попереднього ознайомлення з таким поняттям як матрична форма запису СЛАР. Метод оберненої матриці призначений для вирішення тих систем лінійних алгебраїчних рівнянь, у яких визначник матриці системи відмінний від нуля. Природно, при цьому мається на увазі, що матриця системи квадратна (поняття визначника існує тільки для квадратних матриць). Суть методу оберненої матриці можна виразити в трьох пунктах:
- Записати три матриці: матрицю системи $ A $, матрицю невідомих $ X $, матрицю вільних членів $ B $.
- Знайти обернену матрицю $ A ^ $.
- Використовуючи рівність $ X = A ^ \ cdot B $ отримати рішення заданої СЛАР.
Будь-яку СЛАР можна записати в матричній формі як $ A \ cdot X = B $, де $ A $ - матриця системи, $ B $ - матриця вільних членів, $ X $ - матриця невідомих. Нехай матриця $ A ^ $ існує. Помножимо обидві частини рівності $ A \ cdot X = B $ на матрицю $ A ^ $ зліва:
$$ A ^ \ cdot A \ cdot X = A ^ \ cdot B. $$
Так як $ A ^ \ cdot A = E $ ($ E $ - одинична матриця), то записане вище рівність стане таким:
Так як $ E \ cdot X = X $, то:
Перед переходом до читання прикладів рекомендую ознайомитися з методами обчислення зворотних матриць, викладеними тут.
Вирішити СЛАР $ \ left \<\begin & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end \right.$ с помощью обратной матрицы.
Запишемо матрицю системи $ A $, матрицю вільних членів $ B $ і матрицю невідомих $ X $.
Знайдемо обернену матрицю до матриці системи, тобто обчислимо $ A ^ $. У прикладі №2 на сторінці, присвяченій знаходженню зворотних матриць, зворотна матриця була вже знайдена. Скористаємося готовим результатом і запишемо $ A ^ $:
Тепер підставимо всі три матриці ($ X $, $ A ^ $, $ B $) в рівність $ X = A ^ \ cdot B $. Потім виконаємо множення матриць в правій частині даного рівності.
Отже, ми отримали рівність $ \ left (\ begin x_1 \\ x_2 \ end \ right) = \ left (\ begin -3 \\ 2 \ end \ right) $. З цієї рівності маємо: $ x_1 = -3 $, $ x_2 = 2 $.
Вирішити СЛАР $ \ left \ x_1 + 7x_2 + 3x_3 = -1; \\ -4x_1 + 9x_2 + 4x_3 = 0; \\ 3x_2 + 2x_3 = 6. \ End \ right. $ Методом зворотної матриці.
Запишемо матрицю системи $ A $, матрицю вільних членів $ B $ і матрицю невідомих $ X $.
$$ A = \ left (\ begin 1 7 3 \\ -4 9 4 \\ 0 3 2 \ end \ right); \; B = \ left (\ begin -1 \\ 0 \\ 6 \ end \ right); \; X = \ left (\ begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ end \ right). $$
Тепер настала черга знайти зворотну матрицю до матриці системи, тобто знайти $ A ^ $. У прикладі №3 на сторінці, присвяченій знаходженню зворотних матриць, зворотна матриця була вже знайдена. Скористаємося готовим результатом і запишемо $ A ^ $:
$$ A ^ = \ frac \ cdot \ left (\ begin 6 -5 1 \\ 8 2 -16 \\ -12 -3 37 \ end \ right). $$
Тепер підставимо всі три матриці ($ X $, $ A ^ $, $ B $) в рівність $ X = A ^ \ cdot B $, після чого виконаємо множення матриць в правій частині даного рівності.
$$ \ left (\ begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ end \ right) = \ frac \ cdot \ left (\ begin 6 -5 1 \\ 8 2 -16 \\ -12 -3 37 \ end \ right) \ cdot \ left (\ begin -1 \\ 0 \\ 6 \ end \ right) = \\ = \ frac \ cdot \ left (\ begin 6 \ cdot (-1) + (- 5 ) \ cdot 0 + 1 \ cdot 6 \\ 8 \ cdot (-1) +2 \ cdot 0 + (- 16) \ cdot 6 \\ -12 \ cdot (-1) + (- 3) \ cdot 0 + 37 \ cdot 6 \ end \ right) = \ frac \ cdot \ left (\ begin 0 \\ - 104 \\ 234 \ end \ right) = \ left (\ begin 0 \\ - 4 \\ 9 \ end \ right ) $$
Отже, ми отримали рівність $ \ left (\ begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ end \ right) = \ left (\ begin 0 \\ - 4 \\ 9 \ end \ right) $. З цієї рівності маємо: $ x_1 = 0 $, $ x_2 = -4 $, $ x_3 = 9 $.
Природно, що рішення систем лінійних рівнянь за допомогою зворотної матриці без застосування спеціальних програм на кшталт Mathcad можливо лише при порівняно невеликій кількості змінних. Якщо СЛАР містить чотири і більше змінних, то набагато зручніше в такому випадку застосувати метод Гаусса або метод Гаусса-Жордана.