Великий російський математик П. Л. Чебишев в одній зі своїх робіт писав, що особливу важливість мають ті методи науки, які дозволяють вирішувати завдання, загальну для всієї практичної діяльності людини? Як розташовувати своїми засобами для досягнення якомога більшої вигоди. З такими завданнями доводиться мати справу представникам різних спеціальностей. Інженери-технологи прагнуть так організувати виробництво, щоб на наявному станочном парку зробити якомога більше продукції. Конструктори ламають голову, прагнучи зробити найлегший прилад на космічному кораблі. Економісти намагаються так спланувати прикріплення заводів до джерел сировини, щоб транспортні витрати виявилися найменшими.
Але не тільки людям доводиться вирішувати подібні завдання. Несвідомо з ними справляються і деякі види комах та інших живих істот. Наприклад, форма осередків бджолиних сот така, що при заданому обсязі на них йде найменшу кількість воску. І хоча бджоли не вивчали вищу математику, невблаганний природний відбір привів до того, що вижили лише бджоли, витрачали найменше зусиль на будівництво сот.
Бджолам допомагає вирішувати свої завдання інстинкт. Людина ж відрізняється від них тим, що йому на допомогу приходить розум. Математикам вдалося розробити методи розв'язання задач на найбільші і найменші значення, або, як їх ще називають, завдань на оптимізацію (від латинського «оптимум» - найкращий), тому, що як говорив П. А. Чебишев, велика частина питань практики наводиться до завдань найбільших і найменших величин, і тільки рішенням цих завдань ми можемо задовольнити вимогам практики, яка всюди шукає найкращого, самого вигідного
Наведемо приклади завдань.
З круглого колоди вирізують балку з прямокутним перетином найбільшою площі. Знайти розмір перетину балки, якщо радіус перетину колоди дорівнює R см.
Рішення: Позначимо ширину прямокутника через x, тоді його висота h дорівнює:
а площа прямокутника за формулою S = ab буде виражатися формулою:
Вирішити завдання, значить знайти x, при якому функція приймає найбільше значення.
Знаходимо похідну функції
Похідна існує на проміжку 0 0 ;.
- оптимальне (найкраще) значення ширини балки.
- висота балки, що має найбільшу міцність. Звідси Саме таке ставлення висоти витісував балки до її ширині пропонується правилами виробництва будівельних робіт.
Ще одне завдання очевидною практичної спрямованості.
Відкритий бак, який має форму прямокутного паралелепіпеда з квадратною основою, повинен вміщати V л. рідини. При яких розмірах бака на його виготовлення потрібно найменшу кількість металу?
Рішення: Нехай ABCDA1B1C1D1 - даний відкритий бак, який має форму прямокутного паралелепіпеда з квадратною основою: АВ = АD = х; AA1 ((ABC), AA1 = H.
Якщо бак має заданий обсяг V, то
Кількість потрібного металу на його виготовлення - це функція, що залежить від його розмірів, яку ми знаходимо як суму площ бічної поверхні і підстави:
Отриману функцію S (x) досліджуємо на найменше значення:
Отже, при розмірах і на виготовлення бака об'ємом V потрібно найменшу кількість металу.
Бурова вишка розташована в поле в 9 км. від найближчої точки шосе. З бурової треба направити кур'єра в населений пункт, розташований по шосе в 15 км від згаданої точки (вважаємо шосе прямолінійним) Швидкість кур'єра на велосипеді по полю 8 км / год, а по шосе 10 км / ч. До якої точки шосе йому треба їхати, щоб в найкоротший час досягти населеного пункту?
Нехай х км. - на такій відстані від точки Н (найближчої точки шосе від бурової вишки) знаходиться точка Р, до якої треба їхати кур'єру, щоб в найкоротший час досягти населеного пункту С. Тоді:
- відстань від вишки по полю до точки Р на шосе;
ч. - час, за яке він подолає цю відстань зі швидкістю 8км / год.
- відстань від точки Р до С по шосе;
ч. - час, за яке кур'єр подолає відстань РС по шосе;
- загальний час шляху від В до С, яке представляє собою функцію від змінної х і яку треба досліджувати за умовою на на найменше значення при.
Значить кур'єру треба їхати до точки Р, що знаходиться від найближчої на шосе точці до бурової на відстані 12 км.
Ці нескладні, але переконливо підтверджують їх практичне значення оптимальні завдання з шкільного курсу, викликають інтерес до них.
Коли вони з'явилися і яка їхня роль в розвитку математичної науки?
Як виявилося, дослідження задач на максимум і мінімум почалося в математиці давно - двадцять шість століть тому (2). Так, наприклад, класична изопериметрическая завдання - завдання Дідони, обговорювалася в V століття до н. е. (Изопериметрических фігури - це фігури, які мають однаковий периметр). Згідно з легендою, фінікійський царівна Дідона, рятуючись від переслідувань свого брата, вирушила на захід уздовж берегів Середземного моря шукати собі притулок. Їй сподобалося одне місце на місці нинішнього Туніської затоки. Дідона повела переговори з місцевим ватажком Ярбом про продаж землі. Запросила вона зовсім небагато - стільки, скільки можна «оточити бичачої шкурою». Дидоне вдалося умовити Ярбай. Угода відбулася, і тоді Дідона порізала шкуру бика на дрібні тасьми, зв'язала їх і оточила велику територію, на якій заснувала фортецю, а поблизу неї - місто Карфаген.
Чому «оточила»? Ще в ті далекі часи математики Піфагор, Архімед, Аристотель, Зенодор довели, що площа, що охоплюється будь-якої замкнутої кривої даної довжини, не перевищує площі кола, коло якого має ту ж довжину. «Попутно» довели, що якщо існує плоский n-кутник, що має найбільшу площу серед усіх n -угольніков із заданим периметром, то він повинен бути рівностороннім і Рівнокутні.
Дійсно, квадрат є вирішенням такої сучасної изопериметрической завдання зі шкільного підручника:
Шматок дроту довжиною l метрів згинають так, щоб утворився прямокутник. Які довжини повинні мати сторони прямокутника, щоб його площа була найбільшою?
Нехай периметр ABCD = l м. Тоді сума двох його сусідніх сторін метра. Якщо xm - довжина одного боку, то () м - довжина інший.
Площа дорівнює - функція, яку треба досліджувати на найбільше значення на проміжку (0;).
- критична точка функції S (x)
- максимуму, тобто при функція приймає найбільше значення.
Якщо. то. - сторони сусідні рівні. Прямоульнік найбільшою площі з периметром l - це квадрат зі стороною.
Завдання Герона: Дано дві точки А і Б по одну сторону від прямої l. Потрібно знайти на l таку точку Д, щоб сума відстаней від А до D і від В до Д була найменшою.
1) Побудуємо точку В1 симетричну В щодо l:;.
2) З'єднаємо А і В1, тоді.
Точка D шукана:; А D + ВD- найменша сума.
Розглянемо будь-яку точку D1 на l. Порівняємо суми відстаней АD + D В і АD1 + D1В:
АD1 + D1В = АD1 + D1В1, т. К. D1 В = D1 В1.
АD1 + D1В1> АВ1 (з (АD1В1), але АВ1 = АD + dв1 = АD + D В, dв1 = DВ.
Отже, АD1 + D1В1> AD + D В; АD1 + D1В> AD + D В для будь-якої точки D1, відмінною від D. Значить, АD + D В - найменша сума відстаней від А до D і від В до D.
Невичерпні розсипи дорогоцінних завдань на максимум і мінімум таяться в надрах найдавнішої з математичних наук - геометрії.
«В даний вписати паралелограм AMNK найбільшою площі» (2).
І сьогодні ми її можемо вирішити так.
Рішення: Нехай у (АВС АС = b ;. ВВ1 = Н - висота (АВС.
Позначимо довжину АК через х, 0 0.
Отримали функцію яку необхідно досліджувати на найбільше значення:
- точка максимуму, т. е. найбільший кут видимості статуї для спостерігача буде при відстані метра. від снования постаменту.
Якщо а = 3; b = 2. 5; c = 1. 5, то == 2 (м).
Якщо a = 6; b = 3. 7; c = 1. 7, то == 4 (м).
Навіщо ставилися і для чого вирішувалися такі завдання? Що приваблює в них? Чому ми так любимо обговорювати завдання на максимум і мінімум?
Це не так-то просто пояснити, але факт залишається фактом, що протягом всієї історії математики завдання на екстремум викликали інтерес і бажання вирішувати їх. Може бути вся справа в тому, що людині властиво прагнення до досконалості, в тому, що є якийсь таємничий стимул осягнення «самої суті»?
А може бути в екстремальних задачах завжди або, принаймні, часто присутнє щось витончене, привабливе, щось від тієї краси, яку колись зазначив Б. Рассел, який говорив, що математика володіє не тільки істиною, а й вищою красою, доступною тільки превеликий мистецтву.
Може саме це і спонукає нас вирішувати завдання на максимум і мінімум.