Раніше ми вже розглядали рівняння Ейлера другого порядку. За допомогою певних підстановок таке рівняння зводиться до лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами. Такі перетворення використовуються і в разі рівняння n -го порядку. Розглянемо докладніше два методи вирішення рівнянь даного виду.
1. Рішення рівняння Ейлера \ (n \) - го порядку за допомогою підстановки \ (x = \)
2. Рішення рівняння Ейлера \ (n \) - го порядку у вигляді статечної функції \ (y = \)
Розглянемо інший спосіб вирішення рівняння Ейлера. Припустимо, що рішення має вигляд статечної функції \ (y =, \) де показник \ (k \) визначається в ході рішення. Похідні функції \ (y \) легко виражаються в наступному вигляді: \ [y '= k>, \] \ [y' '= k \ left (\ right)>, \] \ [y' '' = k \ left (\ right) \ left (\ right)>, \] \ [\ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \] \ [>> = \ right) \ cdots \ left (\ right)> \ right]>.> \] Підставляючи це в вихідне однорідне рівняння Ейлера і скорочуючи його на \ (y = \ ne 0, \) відразу отримуємо характеристичне рівняння: \ [\ right) \ cdots \ left (\ right) > \ right]> + \ left [\ right) \ cdots \ left (\ right)> \ right] + \ cdots> +> k + = 0,> \] яке в більш компактному вигляді можна записати як \ [^ \ left [\ right) \ cdots \ left (\ right)> \ right]> + = 0,> \; \; \; \; = 1.> \] Вирішуючи характеристичне рівняння, знаходимо його коріння і далі будуємо спільне рішення диференціального рівняння. В остаточному виразі необхідно повернутися до вихідної змінної \ (x, \) використовуючи підстановку \ (t = \ ln x. \)
3. Неоднорідне рівняння Ейлера вищого порядку
У загальному випадку неоднорідне рівняння Ейлера представляється у вигляді \ [> \ left (x \ right) +> \ right) >> \ left (x \ right) + \ cdots> +> xy '\ left (x \ right) + y \ left (x \ right) = f \ left (x \ right),> \; \; 0.> \] За допомогою підстановки \ (y = \) неоднорідне рівняння Ейлера можна перетворити в неоднорідне лінійне рівняння з постійними коефіцієнтами. При цьому якщо права частина вихідного рівняння має вигляд \ [f \ left (x \ right) = \ left (\ right), \] де \ (\) - многочлен ступеня \ (m, \) то приватне рішення отриманого неоднорідного рівняння можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.