рівняння годографа

Рівняння годографа.

Припустимо тепер, що є течія, для якого якобіан не дорівнює нулю в деякій точці. Тоді відображення є топологічним (взаємно однозначним і взаємно безперервним) в околиці цієї точки і все величини, що описують перебіг, можна розглядати як функції від змінних або Так як

Цей криволінійний інтеграл не повинен залежати від шляху інтегрування. Прості обчислення показують, що для того, щоб це мало місце, що розглядаються як функції від повинні задовольняти системі диференціальних рівнянь

Ця система лінійна, так як є функціями від Виняток допомогою диференціювання однієї з невідомих функцій призводить до рівнянь другого порядку (рівняння Чаплигіна)

З урахуванням (2.8) рівняння (3.4) може бути також записано в формі

Зауважимо, що на площині годографа ми маємо єдине диференціальне рівняння, якому задовольняє функція струму, і що це рівняння дещо простіше, ніж відповідне рівняння для потенціалу.

Незалежні змінні х і у, що розглядаються як функції від також задовольняють лінійним диференціальним рівнянням, а саме

Це можнопроверіть або безпосередньо, написавши рівняння (2.14) у формі системи

і поміняв ролями залежні і незалежні змінні, або використовуючи рівняння (3.2) і (3.3). В силу (3.6) існує функція така, що

причому це "лежандрово перетворення" потенціалу швидкості задовольняє лінійному рівнянню

Потенціал швидкості, функція струму і лежандрово перетворення потенціалу швидкості зв'язані співвідношеннями

Ці два способи лінеаризації рівнянь газової динаміки, звичайно, еквівалентні. Взагалі крайові умови робляться вельми складними при переході на площину годографа, причому ця обставина проявляється навіть сильніше при використанні лежандрова перетворення. З цієї причини линеаризация Чаплигіна є в більшості випадків більш кращою.

Всі отримані вище лінійні рівняння, від (3.3) до (3.7), є еліптичними в дозвуковом колі параболічними на звуковий окружності і гіперболічними в надзвуковий області В цій останній області все рівняння мають одні і ті ж фіксовані характеристики - образи ліній

Маха у фізичній площині.

Ці характеристики даються рівняннями

Через кожну точку надзвуковий області проходять дві характеристики, а в точках звуковий окружності ці характеристики утворюють вістря. У разі адіабатичного течії, керованого співвідношеннями (2.9) і (2.10), диференціальне рівняння (3.9) може бути легко проінтегрувати; виходять епіциклоїда, а саме траєкторії точок кола радіуса яка котиться по звуковий окружності (рис. 3.1).

Схожі статті