6) (a + b) = a + b
8) a (+) = a + a
Отже, на безлічі геометричних векторів (безлічі векторів прямої, площини, або простору) визначені дві операції - додавання і множення на число, які називають лінійними операціями. і ці операції мають ряд властивостей.
Можна навести приклади і інших множин (безліч дійсних чисел, безліч комплексних чисел, безліч матриць однакової розмірності і т.д.), на яких також введені лінійні операції. І хоча ці операції на кожному безлічі визначаються по-своєму, властивості цих операцій збігаються з властивостями 1) - 6) лінійних операцій над геометричними векторами. Тому природно виникає потреба вивчати безлічі елементів довільної природи, на яких визначені лінійні операції. Причому операції можуть бути задані яким завгодно способом, аби мали певним набором властивостей. Такі безлічі в математиці називають лінійними просторами. Основні положення теорії лінійних просторів відіграють важливу роль при вивченні багатьох розділів математики, механіки, фізики.
Таким чином, безліч вільних геометричних векторів утворює лінійний простір. Простір векторів площини позначають V 2. безліч векторів тривимірного простору позначають V 3. Простір векторів, розташованих на одній прямій (або паралельних одній прямій) позначають V 1.
Доведено, що у всякому лінійному просторі існує така сукупність елементів а1. А2. ..., ап>, що будь-який елемент х простору єдиним чином представимо у вигляді суми елементів цієї сукупності, узятих з деякими числовими коефіцієнтами
(В цьому випадку говорять: «х представлений у вигляді лінійної комбінації векторів а1. А2. ..., ап»). Така сукупність елементів називається базисом лінійного простору, а кількість елементів в цій сукупності -размерностью простору.
Базис простору V 1 утворює будь-який ненульовий вектор.
Базис простору V 2 утворюють будь-які два неколінеарних вектора.
Базис простору V 3 складають будь-які три некомпланарних вектора.
Доведення. Як сказано вище, якщо сукупність 1. 2. ..., k. векторів лінійного простору є базисом, то "вектора виконується рівність
де bi - деякі числа.
1) Розглянемо довільний ненульовий вектор Î V 1. Так як всі вектори V 1 лежать на одній прямій, то вони колінеарні, отже, для будь-якого вектора `а Î V 1 можна записати. значить, вектор утворює базис в V 1.
2) Розглянемо два довільних неколінеарних вектора `а і`b ÎV 2. Покажемо, що "` з ÎV 2 $ х. у Î R 2. такі, що.
Розглянемо довільний вектор `з ÎV 2. нехай, наприклад, (рис. 6). Через точку С проведемо пряму, паралельну вектору `b. а через точку D - пряму, паралельну вектору`а. Тоді вектор паралельний вектору `а і значить, = х. а вектор паралельний вектору і = у. Отже, з трикутника, отримуємо
що й потрібно було довести.
Затвердження 3) довести самостійно.
Рівність називається розкладанням вектора `с по базісуa,` b>, коефіцієнти х і у цього розкладання називаються координатами вектора`с в базисі a, `b>, запис` з = (х. У) називається координатної формою вектора `с.
Якщо `a,` b. `С - некомпланарних вектори, то вони утворюють базис простору V 3. тому" `d ÎV 3 розкладання по базису a, `b. `З> має вигляд
Сукупності чисел (х. У) або (x. Y. Z) є, по суті, матриці-рядка довжини 2 і 3 відповідно *). Тому операції над векторами в координатній формі виконуються за правилами дій над матрицями.
Значить, якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні.
Навпаки, якщо координати двох векторів пропорційні, то маємо:
а це значить, що вектори колінеарні.
Таким чином, ми довели: для того, щоб два вектори були колінеарні, необхідно і достатньо, щоб їх координати були пропорційні.
Розглянемо довільну пряму l і на ній орт `е. Цей орт породжує на прямий l сімейство векторів, що лежать на цій прямій:. При l> 0 `а` е. при l <0 `а `е. значит, орт`е определяет на прямой l два противоположных направления.
Пряма, на якій вибрано напрямок, називається віссю. а орт, що задає цей напрямок, називається ортом осі. Напрямок, сонаправленнимі з напрямком орта, називається позитивним. протилежний зміст - негативним. Орт також визначає на осі масштаб і початок відліку (точку його додатки). Проекція вектора на ость є проекція вектора на орт осі:
Якщо в просторі V 3 обрана точка О і довільний базис <> з початком в точці О, то четвірку називають репером. Кажуть, що в V 3 задана декартова система координат (афинная система координат), якщо в ньому заданий репер і з кожним вектором репера пов'язана вісь, яка називається координатною віссю. Перша з цих осей, відповідна вектору `е1. називається віссю абсцис, друга - віссю ординат, третя - віссю аплікат. Позначають систему координат зазвичай Охуz. Тоді кожній точці М тривимірного простору ставиться у відповідність трійка чисел М (х. У. Z) - координат вектора (радіус-вектора цієї точки) в базисі <>.
Аналогічно вводиться поняття системи координат на площині.
Позначимо `i. `J. `K - взаємно перпендикулярні поодинокі вектори:. `I ^` j ^ `k. Очевидно, ці вектори утворюють базис в V 3. Базис називається ортонормованим. Декартова система координат, породжена репером i. `J. `K>, називається декартовій прямокутній системою координат. Таким чином:
Декартовій прямокутній системою координат в тривимірному просторі називають сукупність
- деякої точки О, званої початком координат;
Надалі ми будемо розглядати декартову прямокутну систему координат (ДПСК).
У декартовій прямокутній системі координат координати вектора = (ах. Ay. Az) рівні відповідно проекція цього вектора на координатні осі: ах =, ay =. az =.
Базисні вектори `i. `J. `K в ДПСК мають координати
Розглянемо довільний вектор ÎV 3. кути, які цей вектор утворює з осями координат (або з базисними ортами `i.` J. `K) позначимо a =. b =. g = (рис.7). Косинуси цих кутів cosa, cosb, cosg називаються напрямними косинусами вектора. Направляючі косинуси заданого вектора мають властивість
cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1.
Вони характеризують напрямок вектора щодо ДПСК.
Кожній точці М площини (простору) в обраній ДПСК можна поставити у відповідність її радіус-вектор. Координатами точки в ДПСК називають координати її радіус-вектора.
Якщо відомі координати точок А (хА. УА. ZA) і B ((Хb. УB. ZB) - початку і кінця вектора. То координати цього вектора можна знайти за правилом «від координат кінця вектора відняти відповідні координати початку»:
Лекція 9. Множення векторів. додатки
Скалярний добуток векторів, його властивості, застосування.