Як згадувалося вище, базис в даному векторному просторі можна ввести різними способами. У зв'язку з цим виникає природне завдання: описати зв'язок між базисами.
Доведіть, що розмірність векторного простору не залежить від вибору базису (тобто що будь-який базис містить однакове число векторів).
Нехай у векторному просторі \ (\ mathit \) задані базиси \ (e_1, e_2. E_n \) і \ (f_1, f_2. F_n \). Будь-вектор другого базису можна виразити через вектора першого базису, так що \ [f_1 = c_e_1 + c_e_2 +. + C_e_n, \ quad \ quad (41) \] \ [f_2 = c_e_1 + c_e_2 +. + C_e_n, \ quad \ quad (42) \] \ [. \] \ [F_n = c_e_1 + c_e_2 +. + C_e_n, \ quad \ quad (43) \]
або \ [f_k = \ sum_ ^ nc_e_m, k = 1,2. n. \ Quad \ quad (44) \]
Визначення. Матриця \ [C = \ left (\ begin c_ c_ c_ \ ldots c_ \\ c_ c_ c_ \ ldots c_ \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ Vdots \\ c_ c_ c_ \ ldots c_ \ end \ right). \] Елементи якої введені згідно співвідношенням (41) - (43), називається матрицею заміни базису \ (\\) на базис \ (\\).
Аналогічним чином можна висловити вектора базису \ (e \) через вектора базису \ (f \): \ [e_1 = b_f_1 + b_f_2 +. + B_f_n, \ quad \ quad (45) \] \ [e_2 = b_f_1 + b_f_2 +. + B_f_n, \ quad \ quad (46) \] \ [. \] \ [E_n = b_f_1 + b_f_2 +. + B_f_n, \ quad \ quad (47) \] або \ [e_s = \ sum_ ^ nb_f_k, s = 1,2. n. \] Відповідно, виникає матриця \ (B \): \ [B = \ left (\ begin b_ b_ b_ \ ldots b_ \\ b_ b_ b_ \ ldots b_ \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ Vdots \\ b_ b_ b_ \ ldots b_ \ end \ right). \]
Теорема. Матриця переходу від базису до базису невирождени.
Підставляючи (41) - (43) в (45) - (47), отримуємо: \ [e_s = \ sum_ ^ nb_ \ left (\ sum _ ^ nc_e_m \ right). \]
В останньому виразі стоять 2 кінцеві суми. Для кінцевих сум, згідно з правилами звичайної арифметики, можлива перестановка порядку підсумовування. Реалізуючи її, отримуємо: \ [e_s = \ sum_ ^ nb_ \ left (\ sum _ ^ nc_e_m \ right) = \ sum_ ^ ne_m \ left (\ sum _ ^ nc_ b_ \ right). \]
Порівнюючи вирази зліва і справа, і використовуючи єдиність координат вектора (т.е.коеффіціентов при \ (e_m \) в лівій і правій частинах), отримуємо: \ [\ sum _ ^ nc_ b _ = \ delta _, \ quad \ quad ( 48) \] де \ (\ delta \) - символ Кронекера визначено згідно співвідношенню: \ (\ delta _ = 0 \), якщо \ (m \ neq s \), \ (\ delta _ = 1 \), якщо \ (m = s \). У лівій частині співвідношення (48) неважко впізнати матричне множення матриць \ (C ^ T \) і \ (B ^ T \). У правій частині стоять елементи одиничної матриці \ (E \), яка на діагоналі має одиниці, а інші елементи її дорівнюють нулю. Таким чином, ми отримали рівність: \ [C ^ TB ^ T = E. \ Quad \ quad (49) \] Транспоніруя це рівність, знаходимо: \ (BC = E \). Згідно властивостями визначників, маємо: \ [det (B) det (C) = det (E) = 1. \] Таким чином, матриці \ (B \), \ (C \) невирождени і назад один одному.
1. Довести, що кожна з двох заданих систем векторів є базисом. Знайти матрицю переходу від однієї системи до іншої. \ [A_1 = (1,2,1), \ quad a_2 = (2,3,3), \ quad a_3 = (3,8,2), \] \ [b_1 = (3,5,8), \ quad b_2 = (5,14,13), \ quad b_3 = (1,9,2). \]
2. Як зміниться матриця переходу від одного базису до іншого, якщо поміняти місцями два вектора другого базису?