Система векторів називається лінійно залежною. якщо знайдуться
числа. не всі рівні нулю одночасно і такі,
Система векторів. називається лінійно незалежної,
якщо тоді і тільки тоді, коли
Теорема: Для того щоб система векторів була лінійно залежною,
необхідно і достатньо, щоб хоча б один вектор системи можна уявити, як
лінійну комбінацію інших.
1) Нехай лінійно залежна система, тоді існує і та серед # 955; є # 955; не дорівнює нулю.
Тоді за визначенням - лінійно залежна.
Зауваження: Будь-яка лінійно незалежна система не містить нульового вектора.
Базис в просторі (ЛГП)
Елементи називаються базисом лінійного векторного простору (ЛГП),
якщо - максимальна по включенню лінійно незалежна система векторів L.
(Максимальної по включенню - система лінійно незалежна, але додавання будь-якого вектора
робить систему лінійно залежною).
Теорема: Система векторів утворює базис ЛГП Ln, тоді і тільки тоді,
Коли будь-який вектор належить Ln можна уявити як лінійну камбінацію векторів базису і це розкладання єдине.
# 955; - координати вектора в заданому базисі.
Теорема: Будь-які 3-и вектора на площині лінійно залежні.
Будь-які 3 вектори лінійно залежні
Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.
Якщо вектор а не паралельний вектору b, то a і b лінійно незалежні
Максимальна кількість лінійно незалежних векторів на площині = 2.
Будь-які два вектори належать V2 і не паралельні, утворюють базис на площині.
Теорема: Розкладання вектора по базису єдино.
Доказ: (від противного)
Скалярний добуток векторів, проекція одного вектора на інший,
Критерій ортогональности векторів.
Скалярний твір називається число, яке дорівнює добутку модулів
цих векторів на косинус кута між ними.
Властивості векторного твори:
Проекція одного вектора на інший:
Скалярний добуток векторів в декартовій системі координат:
Різні рівняння площини в просторі, кут між площинами, відстань від точки до площини.
Кут між площинами - кут між їх нормалями.
Рівняння площини в просторі: