# 9; 5.1. Статсумма одновимірної ланцюжка.
Отже, класичні феноменологічні теорії фазових переходів (Ван-дер-Ваальса і Кюрі-Вейсса) відповідають простій моделі міжчасткових взаємодій, заснованої на досить неправдоподібно припущенні, згідно з яким кожна частка однаково взаємодіє з усіма іншими частинками системи. Така груба модель призводить до значень критичних показників, що не залежать від розмірності системи і не відповідають багатьом експериментальними даними. Наприклад, експериментальне значення для критичних показників для переходу пар- рідина близько до величини 0,3 в той час як теорія середнього поля пророкує значення 0,5. Тому бажано розглянути більш реальну модель міжчасткових взаємодій. Найпростішою такою моделлю є модель Ізінга, для якої отримані точні рішення в одновимірному і двовимірному випадках. Розглянемо рішення моделі Ізінга для одновимірної лінійної ланцюжка взаємодіючих спинив. Гамільтоніан одновимірної ланцюжка з N спинив, кожен з яких взаємодіє тільки з двома найближчими сусідніми спинами, запишемо у вигляді:
Мета розрахунку - отримати статсумму для такого ланцюжка.
де # 946; - зворотна температура.
Знайдемо рекурентное співвідношення, що зв'язує статсумму ZN c статсуммой ZN + 1.
Останнє підсумовування по # 963; N + 1 дає
Беручи до уваги, що ch (x) = ch (-x) і що # 115; N = ± 1, отримуємо
Z1 = 2. тому це просто число станів для одного ізольованого спина. Отже остаточно отримуємо
У разі однакової взаємодії (Ji = J для всіх i)
5.2. Спін-спінова кореляційна функція.
Обчислимо двухспіновую кореляційну функцію
Тут для стислості ми ввели символ. який означає підсумовування по всіх 2 N станів, тобто відповідає N-кратної суми по спинах # 115; i в попередніх формулах.
Спочатку розглянемо кореляцію сусідніх спинив
Аналогічно можна отримати і загальну формулу
У формулах (5.10) і (5.11) для спрощення викладок покладено # 946; = 1. що не впливає на кінцевий результат. Диференціюючи (5.7), отримаємо
Для однорідної ланцюжка
Тепер будемо шукати температуру, при якій встановлюється дальній порядок. З точністю до постійного множника намагніченість М дорівнює
Можна показати, що
де М 0 º М (Т = 0, Н = 0) - максимальне значення намагніченості для повністю впорядкованої системи спинив, а величину # 106; називають параметром порядку.
З (5.12) і (5.13) видно, що при кінцевих значеннях параметрів # 946; і Ji. кожен член твори th ( # 98; Ji)<1. и, следовательно, j = 0 при всех конечных температурах. При Т=0, β Ji ® и j ® 1. Таким образом при Т=0 намагниченность скачком достигает значения j = 1 .
5.3. Флуктуаційна-дисипативних співвідношення.
Знайдемо магнітну сприйнятливість в нульовому полі
Для цього, здавалося б, потрібно спочатку знайти намагніченість в ненулевом магнітному полі, тобто обчислити статистичну суму для моделі Ізінга в зовнішньому магнітному полі. Однак є більш простий шлях, який полягає в тому, щоб скористатися флуктуаційна-дисипативним співвідношенням:
Для виведення цієї формули запишемо намагніченість відповідно до (5.14) як середнє по розподілу Гіббса
де гамільтоніан системи представлений у вигляді суми гамильтониана без поля Н0 і члена, що описує взаємодію спінів із зовнішнім магнітним полем Н.
де. Далі, виконавши диференціювання відповідно до (5.16), отримаємо:
Приймаючи до уваги, що
далі підставляючи (5.21) і (5.22) в (5.20), отримаємо