показано, що ізометричний ізоморфізм, т. е. биективное лінійне відображення, що зберігає скалярний твір, володіє цією властивістю. Вірно і зворотне.
Теорема 1. Якщо φ - ізометричний оператор, то відображення φ биективно і зберігає скалярний добуток.
Доведення. Биективное відображення φ випливає з існування зворотного оператора φ -1 = φ *. Перевіримо, що скалярний твір зберігається при відображенні φ:
(Φ (x), φ (y)) = (x. Φ * (φ (y))) = (x. (Φ * φ) (y)) = (x. Id y) = (x. Y) ,
Зафіксуємо деякий ортонормального базис e 1. e 2. ..., e n в евклідовому просторі E. Нехай A φ - матриця изометрического оператора φ в цьому базисі. Т ак як матриця сполученого оператора φ * в цьому ж базисі має вигляд
= A. φ (або. =. Φ в матеріальному випадку), то матриця изометрического оператора φ має властивість:
Вивчимо докладніше такі матриці.
Визначення 8. Матриця O M n (R) називається ортогональної. якщо O -1 = O T. Матриця U M n (C) називається унітарною. якщо U 1 = U T.
Теорема 2. Рядки і стовпці унітарною (ортогональної) матриці - попарно ортогональні вектори одиничної довжини.
матриці U. Отже, і стовпці матриці U попарно ортогональні і мають одиничну довжину, QED.
Це твердження про шпальтах матриці U можна отримати і з геометричних міркувань, якщо U - матриця изометрического оператора в ортонормального базисі. Стовпці матриці складаються з координат образів базисних векторів e 1. e 2. ..., e n в розглянутому базисі. Ізометричний оператор зберігає скалярний добуток. Отже, стовпці - вектори φ (e 1), ..., φ (e n) - також утворюють ортонормального базис.
Зауважимо, що унітарні (ортогональні) матриці зустрічаються також при розгляді матриць переходу від одного ортонормального базису до іншого. Дійсно, нехай e 1. e 2. ..., e n і e 1. e 2. ..., e n. - два таких базису і P - матриця переходу від першого базису до другого. Стовпці матриці P складаються з координат векторів e 1. e 2. ..., e n. в базисі e 1. e 2. ..., e n. Стовпці матриці P тим
самим - попарно ортогональні вектори одиничної довжини. Тому P T P - матриця, що складається з попарних скалярних творів стовпців, - дорівнює E,
P T P = E. Таким чином, P T є зворотною матрицею P -1. а сама матриця P виявляється унітарною (ортогональної).
Розглянемо тепер визначник унітарної матриці U. det U (сума з відповідними знаками творів елементів матриці, узятих з різних рядків і різних стовпців) є комплексним числом.
підстановка ступеня n. sgn σ - її знак, а S n - безліч всіх таких підстановок.
Так як комплексне поєднання перестановки з операціями додавання
і множення комплексних чисел, то det U = det U. Обчислимо модуль комплексного числа det U.
Теорема 3. Нехай U - унітарна матриця, тоді | det U | = 1.
Доведення. det (U U T) = det U det U T = det U det U = det U det U = = | det U | 2.
Але U U T = E. отже, | det U | 2 = 1 і | det U | = 1, т. К. Модуль комплексного числа - речовий позитивне число. Визначник унітарної матриці - комплексне чиcле, по модулю дорівнює одиниці, - може бути записаний у вигляді:
det U = e i α = cos α + i sin α, QED.
Якщо O - ортогональна матриця, то все її елементи речовинні і O = = O. det O - дійсне число, а з доведення теореми 3 отримуємо | det O | 2 = 1. Отже, в матеріальному випадку det O = ± 1.
Зауваження. Нехай e 1. e 2. ..., e n і e 1. e 2. ..., e n. - два ортонормального базису в матеріальному евклідовому просторі, P - матриця переходу від першого базису до другого. P - ортогональна матриця, і, отже, det P = = ± 1. Будемо говорити, що базиси e 1. e 2. ..., e n і e 1. e 2. ..., e n. мають однакову орієнтацію. якщо det P = 1, і протилежну. якщо det P = -1. Розглянемо
просторі R n. Будь-базис, який має однакову орієнтацію зі стандартним базисом, будемо називати позитивно орієнтованим. Протилежно орієнтовані базиси будемо називати негативно орієнтованими. Ці визначення узагальнюють поняття позитивно і негативно орієнтованих трійок векторів тривимірного векторного простору на випадок ортонормального базисів в стандартному евклідовому просторі R n.
§ 6. Властивості изометрического оператора
Розглянемо лінійне підпростір L в евклідовому просторі E і його ортогональное доповнення L.
Теорема 1. Якщо L - інваріантне підпростір изометрического оператора φ, то L - також інваріантне підпростір цього оператора.
Доведення. Для будь-яких x L і y L маємо: (x. Y) = 0. Нехай yL; тоді для перевірки інваріантності підпростору L щодо дії оператора φ потрібно переконатися, що (x. φ (y)) = 0 для будь-якого x L. Підпростір L інваріантної щодо дії оператора φ, отже, φ: L → L - ізометричний оператор в просторі L . т. е. биективное і лінійне відображення. Тому будь-який вектор x L можна записати як φ (x,), де x. = Φ -1 (x). Таким чином,
(X. Φ (y)) = (φ (x,), φ (y)) = (x. Y) = 0, т. К. X. L. а y L. QED.
Нагадаємо, що якщо лінійний оператор (не обов'язково ізометричний) має власні вектори, то у нього є і інваріантні підпростори, наприклад, власні підпростору V λ. Тому пошуки інваріантних підпросторів изометрического оператора φ доцільно почати з вивчення його спектра.
Теорема 2. Коріння характеристичного рівняння изометрического оператора по модулю рівні одиниці.
Доведення. Випадок 1. Нехай φ - ізометричний оператор в комплексному евклідовому просторі E.
Многочлен P φ (λ), як всякий многочлен ступеня n ≥ 1 над полем C. має хоча б один корінь λ 0 (точніше, n коренів з урахуванням їх кратності). Цей корінь є власним значенням оператора φ, відповідним власному вектору x 0.
(X 0. x 0) = (φ (x 0), φ (x 0)) = (λ 0 x 0. λ 0 x 0) = λ 0 λ 0 (x 0. x 0).
λ 0 λ 0 = | λ 0 | 2. Так як x 0 - власний вектор, то (x 0. x 0) ≠ 0 і | λ 0 | 2 = 1. Отже, | λ 0 | = 1.
(Λ) = det (O - λ E), P φ (λ) = det (O - λ E).
Але в разі 1 було показано, що всі корені характеристичного багато-
по модулю рівні 1, QED.
Так як в комплексному лінійному просторі будь-корінь характеристичного рівняння є власним значенням, то ізометричний оператор має інваріантні підпростори. Якщо x 0 - власний вектор, що відповідає власному значенню λ 0. то його лінійна оболонка L =
= X 0 - одномірний інваріантне підпростір изометрического оператора.
У матеріальному випадку, як показує приклад оператора повороту на площині на кут α ≠ k π. у изометрического оператора може не бути нетривіальних інваріантних підпросторів (т. е. підпросторів, відмінних від нульового і всього простору). Це пов'язано з відсутністю речових коренів у характеристичного рівняння.
Розглянемо ізометричний оператор φ в матеріальному евклідовому просторі. Коріння його характеристичного рівняння по модулю рівні одиниці. Якщо вони речовинні, то це числа ± 1, які будуть власними значеннями оператора, а відповідні власні підпростору будуть симетричними. Якщо корінь характеристичного рівняння λ не є ве-
громадським, то λ = e i α. α ≠ k π.
Теорема 3. Нехай λ = e i α (α ≠ k π) - корінь характеристичного рівняння P φ (λ) = 0 изометрического оператора φ, чинного в матеріальному евклідовому просторі E; тоді існує двовимірне інваріантне підпростір L E. в якому оператор φ є поворот на кут α.
Доведення. Зафіксуємо ортонормального базис e 1. e 2. ..., e n в просторі E; O - матриця оператора в цьому базисі. Як і в доведенні теореми 2, встановимо ізометричний ізоморфізм між простором E і
ортогональное доповнення L також інваріантної щодо оператора φ. dim L = k. т. к. E = LL і dim E = dim L + dim L. Оператор φ діє в просторі L. і, отже, за припущенням індукції в просторі L існує ортонормального базис e 2. ..., ek +1 з власних векторів оператора φ . Тоді e 1. e 2. ..., e k +1 - ортонормального базис в просторі E. складається з власних векторів оператора φ, QED.
Матриця изометрического оператора в базисі з власних векторів діагональна, і на діагоналі стоять числа, по модулю рівні одиниці. Таким чином, для будь-якої унітарної матриці U існує інша унітарна матриця V така, що V -1 UV - діагональна матриця. Матриця V - це матриця переходу від вихідного стандартного ортонормального базису, в якому оператор задається як оператор множення на матрицю U. до канонічного базису з власних векторів, існування якого доведено в теоремі 1. Іншими словами, можна сказати, що будь-яка унітарна матриця подібна діагональної спеціального виду:
Якщо φ - ізометричний оператор в матеріальному евклідовому просторі, то у нього може не існувати ортонормального базису з власних векторів, як, наприклад, у оператора повороту на кут α ≠ k π на площині. Однак і в матеріальному випадку у изометрического оператора існує спеціальний (канонічний) ортонормального базис.
Теорема 2. Нехай φ - ізометричний оператор в матеріальному евклідовому просторі E; тоді в цьому просторі існує ортонормального базис, в якому матриця оператора має вигляд:
Це клітинно-діагональна матриця, одномірні клітини якої суть числа 1 або -1, а двовимірні - матриці повороту на кути α i.
Доказ (методом математичної індукції). Нехай φ діє
в одновимірному евклідовому просторі E. У цьому випадку оператор φ - множення на число, яке в силу ізометрії одно ± 1. Вектор e одиничної довжини
в просторі E і є необхідний базис.
Припустимо, що теорема вірна для евклідових просторів E розмірності, меншою n (dim E dim L = 1. Вектор e 1 = - базис простору L. По теоремі 1 § 6 підпростір L інваріантної щодо φ, т. е. φ діє в просторі L. dim L = n - 1, і за припущенням індукції простір L володіє ортонормального базисом e 2. ..., e n. в якому матриця оператора φ має необхідний клітинно-діагональний вид. Вектори e 1. e 2. ..., e n - ортонормального базис простору E. в якому матриця оператора φ має необхідний клітинно-діагональний вид. Якщо в спектрі оператора φ немає дійсних чисел, то розглянемо ком- комплексний корінь λ 0 = e i α 0 характеристичного рівняння. Згідно з теоремою 3 § 6 в просторі E існує двовимірне інваріантне підпростір L. в якому оператор φ діє як поворот на кут α 0. Нехай e 1. e 2 - ортонормального базис підпростору L. Ортогональное доповнення L інваріантної щодо оператора φ, і dim L = n - 2. За припущенням індукції в L існує ортонормального базис e 3. ..., e n. в якому матриця оператора φ має канонічний вигляд. Зауважимо, що в цьому випадку всі клітини на діагоналі двовимірні, QED. З цієї теореми випливає, що для кожної ортогональної матриці O існує інша ортогональна матриця Q (матриця переходу до канонічного базису) така, що Q -1 OQ - клітинно-діагональна матриця, описана в теоремі 2. Нарешті, зауважимо, що канонічний вид ортогональної матриці визначено однозначно з точністю до перестановки місцями клітин на діагоналі. § 8. Ізометричні оператори на площині і в просторі Теорема 2 попереднього параграфа дає можливість класифікувати ізометричні оператори на площині і в тривимірному просторі, описавши не тільки все ортогональні матриці розмірності 2 і 3 з точністю до подібності, а й геометричне дію відповідних операторів. Розглянемо ізометричний оператор φ на площині, т. Е. В двовимірному стандартному евклідовому просторі R 2. Канонічний вигляд матриці оператора φ визначений однозначно з точністю до порядку клітин на діагоналі. Нехай e 1. e 2 - ортонормального базис простору R 2. в якому матриця опе- ратора φ має канонічний вигляд. Якщо O = простору, крім 0. є власними векторами оператора φ з власним значенням -1. Оператор φ здійснює в просторі центральну симетрію щодо початку координат: φ (x) = - x. Нехай тепер в спектрі оператора φ є нематеріальні числа. Оператор φ - ізометричний, тому по теоремі 2 § 1 це числа виду e i α. Характеристичний многочлен P φ (λ) має речові коефіцієнти. Як відомо, нематеріальні коріння речових многочленів зустрічаються па- Для продовження скачування необхідно зібрати картинку:Схожі статті