Поняття - форма мислення, в якій виділяються і узагальнюються об'єкти з безлічі інших об'єктів на основі істотних ознак або властивостей.
Так, поняття «трикутник» поєднує в собі безліч всіх можливих трикутників і характеристичне властивість - наявність трьох сторін, трьох вершин, трьох кутів.
Обсяг це сукупність всіх об'єктів, до яких відноситься термін, що позначає поняття, безліч цих об'єктів.
З'ясуємо, що ж таке істотна ознака поняття.
Згадаймо відомий зі шкільного курсу поняття «паралелограм». Спробуємо назвати властиві цьому поняттю властивості, з'ясовуючи які з властивостей є суттєвими, а які ні.
Властивостями, записаними в лівому стовпчику, володіє будь-який чотирикутник площині, а ось властивості правого стовпчика відносяться тільки до такого чотирикутнику, який є паралелограма.
Отже, властивості лівого стовпчика не є істотними, а ось властивості, записані праворуч - істотні властивості або ознаки паралелограма.
Саме ці властивості дозволяють дізнатися, чи є даний чотирикутник параллелограммом чи ні.
Істотні властивості - це такі властивості, кожен з яких необхідний, а всі разом достатні для виділення об'єкта з безлічі всіх об'єктів.
Розглянемо інше знайоме поняття - «коло». Окружністю називається безліч точок площині, кожна з яких знаходиться на даній відстані від заданої точки цієї площини.
Приберемо одна ознака - вимога, що безліч точок належить площині.
Обсяг вихідного поняття розширився, бо з новим визначенням «Безліч точок, кожна з яких знаходиться на даній відстані від заданої точки площині» відповідає не тільки поняття окружності, а й «сфера».
Отже, слід мати на увазі, що втрата одного істотного ознаки веде до розширення обсягу, а введення нового ознаки тягне звуження обсягу даного поняття.
Формалізм математичного методу заснований на тому, що в математичних міркуваннях поняття дозволяється використовувати лише в тому сенсі, який закладений в них визначенням.
Польський математик Г. Штейнгауз відзначав: «Визначення, по суті, зводиться до того, що замість певної комбінації старих символів використовується новий символ ...»
Однак, зауважимо, що у визначенні, як правило, вказуються не всі істотні ознаки поняття, а лише певна їх сукупність.
Так, шкільне визначення паралелограма може бути наступним:
«Чотирикутник, що має дві пари паралельних сторін, називається паралелограма». У цьому визначенні не сказано про рівність протилежних сторін, про поділ діагоналей навпіл в точці перетину і т.д.
Більш того, визначити паралелограм можна інакше: «Чотирикутник, що має пару рівних і паралельних сторін, називається паралелограма».
Таким чином, ми приходимо до висновку, що для визначення поняття існує, як правило, не тільки одна єдина група істотних ознак. Вибір істотних ознак для освіти визначення з усієї сукупності ознак не є однозначним.
Якщо це так, то як же перевірити, що різні визначення одного і того ж поняття визначають справді одне поняття?
Це перевіряється за обсягом поняття. Одному і тому ж поняттю можна дати різні визначення - вказавши різні сукупністю суттєвих ознак, але обсяг поняття повинен бути один і той же.
Отже, визначити будь-яке поняття можна, вказавши його істотні ознаки.
Розглянемо види визначень.
Основним прийомом або видом визначення є визначення через найближчий рід і видову відмінність. Таке визначення відомо з часів Аристотеля. Це так зване формально-логіческоеопределеніе.
Якщо обсяг одного поняття входить як правильна частина в обсяг іншого поняття, то перше поняття називають видовим, а друге - родовим.
Так, поняття «прямокутник» є видовим по відношенню до поняття «паралелограм», а паралелограм - родове поняття по відношенню до поняття «прямокутник».
Уже в початковій школі можна зустріти і інший прийом визначення.
Так, у вправі може бути запропоновано наступне завдання: «Відзнач точку. Постав в цю точку голку циркуля і повертаючи циркуль накреслив лінію. Ця лінія - коло »Це генетіческоеопределеніе. Від латинського «генезис» - походження.
Згадайте, що в старших класах подібним чином визначають прямий круговий циліндр і конус.
Такому прийому визначення близький ще один вид - конструктивне визначення.
У цьому визначенні вказуються не властивості, а дається безпосереднє опис будови об'єкта, його конструкції. Так, паралельні прямі можна визначити як два перпендикуляра до однієї прямої.
Можливо визначення через абстракцію. Так, наприклад, визначається поняття натурального числа в кількісної або теоретико-множинної трактуванні.
Ви зустрічалися як в школі, так і в вузівському курсі математики з визначенням - умовним угодою. Домовилися, що будь-яке число, відмінне від нуля в нульовий ступеня є одиниця.
У математичній логіці імплікації предикатів можливо визначити через диз'юнкцію заперечення першого предиката і другого.
5) Непряме визначення це визначення через систему аксіом. Таким чином, визначаються основні поняття геометрії: точка, пряма, площина.
Існує досить багато різних видів визначень. Можна всі типи визначень розділити на дві групи: дескриптивні і конструктивні визначення.
Якщо нове поняття вводиться за допомогою опису його властивостей - це дескриптивное визначення; їли за допомогою опису конструкції самого об'єкта - то це конструктивне визначення.
Основні завдання, з якими стикається людина в своїй діяльності, пов'язані з перетворенням дескриптивних визначень в конструктивні, іншими словами з побудовою об'єктів, що володіють тими чи іншими властивостями.
Конструктивне визначення цінне тим, що воно дає доказ існування визначається об'єкта.
А ось з описового визначення ще не випливає, що відповідний об'єкт існує. Після описового визначення слід, як правило, довести теорему існування.
Ми зупинимося докладніше на вимогах до формально логічним визначенням, бо саме такі визначення найбільш часто зустрічаються в шкільному курсі геометрії.