Поняття про картографічні проекціях
Картографічна проекція - математично певне відображення поверхні земного еліпсоїда на площині. При цьому на мапі передаються положення і обриси картографуються об'єктів, а також сітка меридіанів і паралелей. Закон, який визначає картографічну проекцію, може бути виражений:
1. Її рівняннями;
2. Вказівкою графічного побудови;
3. Таблиці координат і іншими способами.
Рівнянням картографічної проекції називають два рівняння, що визначають зв'язок між координатами точок на карті і відповідних точок на поверхні еліпсоїда.
Координатні сітки - це картографічна, прямокутна, кілометрова і інші сітки. Картографічна сітка - є зображення паралелей і меридіанів на карті.
Прямокутна сітка на карті - це координатна сітка в системі плоских прямокутних координат в даній картографічної проекції.
Кілометрова сітка - це координатна сітка, лінії якої проведені на карті через інтервали, що відповідають певному числу кілометрів. Точки перетину ліній координатної сітки на карті називають вузловими точками.
Мапі притаманні спотворення довжин, площ, кутів і форм.
1. Спотворення довжин виражаються в тому, що масштаб довжин на карті змінюється при переході від однієї точки до іншої, а також при зміні напрямку в даній точці;
2. Спотворення площ виникають через те, що масштаб площ в різних місцях карти різний;
3. Спотворення кутів полягають в тому, що кути між напрямками на карті не рівні відповідним кутам на земній поверхні. Кути між лініями географічних об'єктів спотворені, що призводить до порушення форм самих об'єктів;
4. Спотворення форм полягають в тому, що фігури об'єктів на карті не подібні відповідним географічним фігурам на місцевості.
Всі види спотворень на карті пов'язані один з одним, і зміна одного з них тягне за собою зміни інших. Особливий характер має зв'язок між спотвореннями площ і кутів. Зменшення одного з них тягне збільшення іншого. Ні карт без спотворень, проте є карти, в яких або відсутні спотворення кутів, або відсутні спотворення площ, або спотворення кутів і площ як би врівноважені.
Показником спотворень довжин в даній точці за даним напрямком є приватний масштаб довжин μ, який виражається в частках головного масштабу. Він може бути більше головного (наприклад, 2,32) і менше його (наприклад, 0,81). Масштаб μ змінює свою величину в даній точці в залежності від напрямку. По одному з напрямків в даній точці масштаб довжин має найбільшу, а по іншому - найменше значення. Ці напрямки взаємно перпендикулярні, і їх називають головними напрямками. Найбільший масштаб довжин позначимо через, а найменший - Особливо виділяють приватні масштаби довжин по меридіанах - і по паралелях - (рис. 2.1.). Іноді в якості показника спотворення довжин беруть не значення масштабів а їх відмінності від одиниці, тобто Цей показник називають відносним спотворенням і часто висловлюють у відсотках. У деяких випадках спотворення довжин оцінюють логарифмом приватного масштабу довжин, наприклад, Якщо спотворень в даній точці немає, тобто те
Показники спотворень площ приймають приватний масштаб площ виражається в частках головного масштабу площ. Він також може бути більше або менше одиниці. Замість використовують відносний показник часто виражається у відсотках і
Мал. 2.1. Елементарний Сфероїдічеськая трикутник
Величина спотворення кута в даній точці карти залежить від напрямку сторін кута. Тому в якості показника спотворення кутів на карті прийнято найбільше спотворення Найменша спотворення кутів в даній точці карти завжди дорівнює нулю. У будь-якій точці карти завжди є кут, який зображується без спотворень. Це кут між головними напрямками, який завжди дорівнює 90 °. Крім використовується показник характеристики кута між зображеннями на карті ліній меридіанів і паралелей. Цей кут на карті в загальному випадку не дорівнює куту між меридіаном і паралеллю і позначається (тета), а його відхилення від значення кута між меридіаном і паралеллю на поверхні відносності, що характеризує його спотворення, - (іпсилон). На кулі або еліпсоїді обертання меридіани і паралелі перетинаються під прямими кутами. Тому для зазначених поверхонь належності
Спотворення форм (як і кутів) є наслідком того, що приватний масштаб довжин за різними напрямками різний. Тому ставлення характеризує спотворення форм. Чим більше величина тим сильніше витягнуть в напрямку контур на карті. Показник K характеризує спотворення форм нескінченно малих фігур. Для кінцевих фігур він є наближеним показником. Він досить добре відображає спотворення форм щодо малих географічних об'єктів, таких, як Кримський півострів, острів Тасманія і навіть Кольський півострів. Але для великих об'єктів, таких як материки і навіть як острів Гренландія, він неточний. Використовують і інші показники, наприклад:
Показник враховує як спотворення площ, так і спотворення форм (кутів). Якщо його розглядати як вектор в системі координат (рисунок 11), то кут визначає поворот цього вектора, обчислюється як:
Він характеризує співвідношення площ і спотворень кутів.
При немає спотворень кутів, при відсутності спотворень площ при спотворення форм і площ врівноважені, тобто
Найбільш точно всі види спотворень в даній точці карти можна представити у вигляді еліпса спотворень (малюнки 12 і 13). Еліпс спотворень в даній точці карти зображує нескінченно мале коло на поверхні відносності. Його піввісь рівні величинам і вони орієнтовані по головним напрямкам. Радіус вектор еліпса спотворень може бути орієнтований по будь-якому напрямку і визначає частий масштаб довжин за цим напрямком. Форма еліпса характеризує спотворення кутів і форм - вони спотворені тим більше, чим більше еліпс відрізняється від окружності. Площа еліпса пропорційна спотворення площ і тим вона більше, чим більше спотворені площі. Бажаючи показати на мапі еліпси спотворень, умовно приймають радіуси нескінченно малих кіл на кулі або еліпсоїді рівними кінцевої величиною (наприклад, 5 мм в масштабі карти). Тоді все що показуються на карті еліпси також візьмуть кінцеві величини.
Їх можна порівнювати і зіставляти з показаними на карті, де немає спотворень або відсутній один з видів спотворень. Величина і характер спотворень, який кожен еліпс демонструє, слід відносити до точки карти, в якій знаходиться центр еліпс.
Визначаючи на карті або обчислюючи за формулами приватні масштаби довжин по меридіанах і паралелях і кут між ними, легко обчислити параметри еліпса спотворень (рисунок 13). Напівосі еліпса спотворень і (для кулі або еліпсоїда обертання) знаходять за формулами:
Азимут на мапі великий осі еліпса обчислюють за формулою:
Знаючи неважко побудує еліпс спотворень в заданій точці карти. За цими даними легко знайти і інші показники спотворень. Приватний масштаб довжин за довільним напрямку, який визначається азимута на карті можна знайти за формулою:
В межах карти величини спотворень змінюються. У деяких картографічних проекціях є центральні точки або лінії, в яких спотворень (зазвичай кутів) невеликі і з віддаленням від них спочатку повільно, а потім прискорено зростають. Швидкість цього зростання в різних напрямках може бути різною. Зазвичай на картах є точки або лінії, в яких спотворення окремих або всіх видів відсутні. Це точки і лінії нульових спотворень. Місця на карті з максимальними спотвореннями зазвичай найбільш віддалені від ліній або точок нульових спотворень. Щоб забезпечити можливо меншу величину максимальних спотворень, точку або лінію нульових спотворень розташовують в центрі карти. Коли лінія замкнута або є дві лінії, їх розташовують так, щоб віддалення від них до середини і краях карти були приблизно однаковими. Як змінюються спотворення при видаленні від точок або ліній центральних або нульових спотворень, зручно показувати Ізокол.
Ізокол - лінії, що з'єднують точки з однаковою величиною того чи іншого показника спотворень. Ізокол показують на макетах карти. Зазвичай в деяких атласах, а також в навчальних посібниках з математичної картографії наводяться макети з Ізокол і
Інший спосіб показу величин спотворень - це складання таблиць з певним набором показників спотворень.
Вище були розглянуті локальні показники. Вони характеризують спотворення в точці карти. Іноді при виборі, при спотвореннях з метою зіставлення різних варіантів проекцій користуються показниками спотворень, що характеризують карту в цілому. Застосовують показник варіаційного типу:
де площа зображуваної території, один з розглянутих показників. Часто інтеграл заміняють сумою, для чого зображає територію поділяють на ділянки площею для кожної ділянки знаходять показник спотворень і обчислюють за формулою: