називається неперервною, якщо безперервні x (t), y (t), z (t). (Можна визначати безперервність в точці або на безлічі).
Для заданої параметрізацііt Î[A. b] початок кривої - точка A (x (a), y (a), z (a)), кінець кривої - точка B (x (b), y (b), z (b)).
Замкнута крива це крива. у якій кінець збігається з початком.
Крива називається безперервно диференціюється, якщо функції x (t), y (t), z (t) у безперервний спосіб діфференцируєми.
Гладкою називається крива, яка неперервно диференційовна і для якої виконана умова "t. R ¢ (t) ¹0.
Кусочно гладка крива - крива, яка неперервна і складається з кінцевого числа гладких шматків.
5.2 Довжина кривої
Довжина кривої. Спрямляемость.
малюнок для плоского випадку
Визначення. Крива g називається спрямляются, якщо кінцева точна верхня грань. де точна верхня грань береться по всіляке розбиття D відрізка [a, b]. Ця величина s називається довжиною кривої g.
Приклад безперервної, чи не спрямляются кривої.
Довжина підстави чергового прямокутника дорівнює половині довжини підстави сусіднього прямокутника справа. Число ланок ламаної, вписаної в прямокутник береться таким, щоб довжина ділянки ламаної, що потрапила в прямокутник була> 1.
Теорема 1. Крива, складена з двох спрямлюваних кривих спрямляема і її довжина дорівнює сумі довжин вихідних компонент.
Доведення. Пустьg = g ¢ + g ¢¢. Для будь-якого разбіеніяDкрівойgсуществуют разбіеніяD ¢, D ¢¢ крівихg ¢, g ¢¢ такі, що s (g. D) £ s (g ¢. D ¢) + s (g ¢¢. D ¢¢). На малюнку на ділянці стику двох кривих хорда AB замінюється на дві хорди AC і CB. Всі інші хорди розбиття кривої g залишаємо без зміни
Так як AB £ AC + CB, то звідси отримуємо співвідношення для довжин кривих s £ s ¢ + s ¢¢ .З іншого боку будь-яка параD ¢, D ¢¢ розбиття кривих g ¢, g ¢¢ утворює разбіеніеDкрівойg, так чтоs (g. D) = s (g ¢. D ¢) + s (g ¢¢. D ¢¢). тому справедливо зворотне нерівність s ³ s ¢ + s ¢¢.
Теорема 2. Якщо крива g неперервно диференційовна, то вона спрямляема і її довжина s задовольняє нерівності
Для верхньої межі отримаємо (b - a) £ s £ (b - a).
Звідки і слідують необхідні нерівності.
Теорема 3. Якщо крива g гладка, то довжина дуги s (t) від початку кривої до точки, відповідної значенням параметра t, є строго монотонно зростаючої, безперервно диференціюється функцією і
Доведення. На ділянці [t, t + Dt] по теореме2 виконані нерівності
Необхідну рівність вийде при переході до межі пріDt ®0, якщо врахувати, що ліва і права частини (1) матимуть загальний пределНапрімер, Суворе монотонне зростання функції s (t) випливає з условіявиполненного для гладкої кривої.
Слідство 1. Для гладкою g можна вибрати в якості параметра довжину дуги від початку кривої до даної точки s = s (t).
Дійсно, для цієї функції існує зворотна t = t (s) і, отже, (t) = (t (s))
Слідство 2. dt, ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2. ds - елемент довжини дуги.
Приклад. Довжина ланцюгової лінії y = ch x.
Параметризацію кривої виберемо у вигляді x = t, y = ch t. t Î[0, t0].
5.3 Плоскі криві
Кривизна, радіус кривизни.