Теорема Арцела - це

Доведення

  • Нехай M - предкомпакт.
  • Тоді M - обмежене безліч, тобто будь-яка функція f з множини M має обмежену константою Const норму. Отже, значення f в будь-якій точці проміжку [a, b] обмежені тією ж константою Const.
  • Існує кінцева ε-мережу 1. φN>, така що для будь-якої функції f з M знайдеться елемент мережі φj. віддалений від f не більше, ніж на ε в будь-якій точці проміжку [a, b]. (1)
  • Так само при | x '- x "| <δ(ε) значения φj так же находятся недалеко друг от друга:
| Φj (x ') - φj (x ") | <ε (2)
  • Нарешті, оцінимо різницю між двома значеннями f в точках x 'і x ":
| F (x ') - f (x ") | <= |f(x') - φj (x')| + |φj (x') - φj (x")| + |φj (x") - f(x")|

Це відстань за доведеними вище нерівностей (1) і (2) не перевищує 3ε.

  • Таким чином значення f як завгодно близькі при достатній близькості аргументів і, отже, M - равностепенно безперервне безліч.
  • M - обмежене і равностепенно безперервне підмножина класу C ([a, b]) безперервних на відрізку [a, b] функцій. Доведемо, що M - предкомпакт.
  • Розглянемо функцію f з безлічі M. Побудуємо n-звенную ламану Υn (x). Тоді для будь-якого ε існує таке n, що
| F (x) - Υn (x) | <ε (3) Что верно для любой функции f из M, так как M - равностепенно непрерывно.
  • Уявімо ламану Υn (x) як вектор 0), υ (x1). υ (xn)> при фіксованому n. Набір таких векторів предкомпактен.
  • Для такого набору існує кінцева ε-мережу j> (точніше, з векторів, зіставлених φj)
  • Ця ε-мережу є 2ε-мережу для функцій f:
| F - φj | <= |f - Υn | + |Υn - φj | <= 2ε
  • Отже, ця мережа є 2ε-мережу для M
  • По теоремі Хаусдорфа з попереднього пункту отримуємо, що M - предкомпакт ч.т.д.

Дивитися що таке "Теорема Арцела" в інших словниках:

Теорема Асколі - Арцела - Теорема Арцела твердження, яке представляє собою критерій предкомпактності безлічі в повному метричному просторі в цьому спеціальному випадку, коли розглядається простір простір неперервних функцій на відрізку ... ... Вікіпедія

Теорема Асколі - Теорема Арцела твердження, яке представляє собою критерій предкомпактності безлічі в повному метричному просторі в цьому спеціальному випадку, коли розглядається простір простір неперервних функцій на відрізку ... ... Вікіпедія

Теорема Монтель про компактний сімействі функцій - Цей термін має також інші значення див. Теорема Монтель. Теорема Монтель про умови компактності сімейства голоморфних функцій або принцип компактності: Нехай - нескінченне сімейство голоморфних функцій в області комплексної площині ... ... Вікіпедія

Арцела - Асколі ТЕОРЕМА - назва ряду теорем, що вказують умови дл я того, щоб межа послідовності безперервних функцій був функцією безперервної (одне з таких умов квазіравномерная збіжність послідовності). Літ.: [1] Arzе1а С. Mem. Accad. sci Bologna ... Математична енциклопедія

Лемма Арцела - Лемма Арцела властивість компактного безлічі. На прикладі відрізка формулюється так: Нехай в кінцевому проміжку містяться системи проміжків, кожна з яких складається з кінцевого цифри не налягають один на одного замкнутих проміжків. ... ... Вікіпедія

Рівномірно сходитися ряд - функціональний ряд (1) з (взагалі кажучи) комплексними членами, що сходиться на безлічі X, і такий, що для будь-якого e> 0 існує номер ne. що для всіх n> ne і всіх виконується нерівність де і Іншими словами, послідовність часткових ... ... Математична енциклопедія

Схожі статті