Методи теорії порівнянь широко застосовуються в різних областях науки, техніки, економіки. Цей розділ алгебри займає важливе місце в вузівській освіті математиків, фізиків та інших фахівців, проте дуже часто вивчається недостатньо глибоко. Завдання даної курсової роботи - вивчити теоретичний матеріал і розглянути ряд основоположних завдань по одному з основних розділів теорії чисел: порівняння першого ступеня з однієї і декількома змінними, порівняння вищих ступенів і т.д.
Основна частина курсової роботи складається з трьох розділів. У першому розділі розкриваються основні поняття теорії порівнянь, такі як порівняння в кільці цілих чисел, основні теореми і властивості порівнянь. У другому розділі розглядаються порівняння першого ступеня з однією змінною. Далі розглядаються порівняння вищих ступенів і системи порівнянь першого ступеня. У додатку наводяться приклади розв'язання текстових задач, які зводяться до невизначеним рівнянням першого порядку і вирішуються за допомогою порівнянь.
Виклад теоретичного матеріалу ілюструється великою кількістю прикладів з докладними рішеннями.
У роботі наводиться список літератури по темі.
1. Теорія порівнянь
1.1 Порівняння в кільці цілих чисел
Поняття порівняння було введено вперше Гауссом. Незважаючи на свою уявну простоту, це поняття дуже важливо і має багато додатків.
Візьмемо довільне фіксоване натуральне число і будемо розглядати залишки при діленні на m різних цілих чисел. При розгляді властивостей цих залишків і творі операцій над ними зручно ввести поняття так званого порівняння по модулю.
Визначення. Цілі числа і називаються порівнянними за модулем, якщо різниця ділиться на, тобто якщо.
Таким чином, порівняння являє собою співвідношення між трьома числами і, причому, що грає роль свого роду еталон порівняння, ми називаємо «модулем». Для стислості будемо це співвідношення між і записувати:
і будемо називати відповідно лівою і правою частинами порівняння. Число, що стоїть під знаком модуля, будемо завжди вважати позитивним, тобто запис буде означати, що.
Якщо різниця не ділиться на, то ми будемо записувати:
Згідно з визначенням, означає, що ділиться на.
так як і ділиться на.
, так як і ділиться на.
, так як і ділиться на.
1.2 Основні теореми про порівняннях
Теорема 1 (ознака порівнянності двох чисел по модулю). Два цілих числа і порівняти по модулю тоді і тільки тоді, коли і мають однакові залишки при діленні на.
Доведення. Нехай залишки при діленні і на рівні, тобто
Розділимо на; отримаємо Підставивши в (1.3), матимемо тобто при розподілі на виходить той же залишок, що і при розподілі на.
Приклад 1. Визначимо, чи можна порівняти числа і по модулю.
Рішення. При розподілі і на виходять однакові залишки Отже,
Визначення. Два або кілька чисел, що дають при діленні на однакові залишки, називаються равноостаточнимі або порівнянними по модулю.
Теорема 2. Ставлення порівнянності рефлексивно:.
Доведення. і мають однакові залишки при діленні на.
Теорема 3. Ставлення порівнянності симетрично: якщо, то.
Доведення. Якщо і мають однакові залишки при діленні на, то залишки від ділення і на є рівними.
Теорема4. Ставлення порівнянності транзитивно: якщо
Доведення. Якщо залишки від ділення на однакові у чисел і, а також у і, то і теж мають однакові залишки при діленні на.
Таким чином, ставлення порівнянності є відношення еквівалентності.
Теорема 5. Якщо і довільне ціле число, то
Теорема 6. Якщо і 1. то.
Доведення. Якщо, то | , |. але тоді умова дає | , Тобто .
Теорема 7. Якщо і довільне натуральне число, то.
Теорема 8. Якщо, де й довільні натуральні числа, то.
Теорема 9. Якщо,, то і.
Доведення. Якщо і, то і. Отримаємо, що
Теорема 10. Якщо і, то.
Доведення. Якщо і, то і. Тоді по транзитивності порівнянь отримаємо, що.
Теорема 10 '. Якщо то
Доведення. Послідовно застосовуючи теорему 7, отримаємо:
Теорема 11. Якщо, то при будь-якому цілому.
Доведення. При твердження вірне по теоремі 2, а при воно вірно відповідно до теореми 10 ', якщо і.
Перехід від порівнянь, до порівнянь
Схожі роботи:
Теорія і методологія соціологічних досліджень
з теорії. Ми говоримо про теорію відносної депривації, теорії всесвітнього тяжіння, теорії психоаналізу, теорії когнітивного. залежностях. Встановлення тимчасового порядку. Побудова теорії. Порівняння. Маніпуляція змінними. Контроль. По перше.
Теорія міжнародної торгівлі (3)
розвинув теорію абсолютних переваг, запропонувавши теорію порівняльних переваг. В основі цієї теоріісравненіе НЕ витрат. виробництва, а альтернативної вартості вироблених товарів. Дія теорії можна.
Теорія прийняття рішення (1)
теорій відносяться: теорія збалансованих структур Ф. Хайдера, теорія комунікативних актів Т. Ньюкома, теорія когнітивного дисонансу Л. Фестінгер і теорія. завершенням експерименту тестуванням і порівнянням поведінки групи, що отримала експериментальне.
Теорія і методологія розробки стратегії розвитку підприємства
підприємств в Росії, є недостатня сумісність теорії підприємства та теорії стратегічного управління. Однак, якщо. характеристик позиціонування і вимог до ресурсів в порівнянні з іншими підприємствами галузі (benchmarking). 3).
Теорія і технології навчання. Збірник текстів
таких теорій є теорія педагогічна: теорія виховання, теорія навчання, теорія управління системою освіти - це теорії. протиріччя процесу навчання слід шукати в порівнянні закономірностей індивідуальної пізнавальної діяльності с.