Всі коефіцієнти першої графи позитивні, отже, система стійка
7. Другий метод Ляпунова
Другий, або прямий, метод Ляпунова дозволяє досліджувати стійкість рішень нелінійних диференціальних рівнянь, не проводячи рішення самих рівнянь. Ми будемо досліджувати стійкість тривіального рішення автономних систем диференціальних рівнянь, тобто систем рівнянь виду
При цьому ми припускаємо, що функції fi (x1, ..., xn) мають безперервні приватні похідні по всіх аргументів в деякій опуклої області G.
Розглянемо функції V (x1, ..., xn), певні і безперервні в області G: Функція V (x1, ..., xn) називається знакоположітельной (знакоотріцательной) в зазначеній галузі G, якщо для будь-якого . Функція V (x1, ..., xn) називається позитивно певної (негативно певної) в тій же області G, якщо для будь-якого тоді і тільки тоді, коли Функції V (x1, ..., xn) першого типу називають знакопостоянного, другого типу - знакоопределеннимі. Досить просто визначається знакоопределенность в тому випадку, якщо функція V (x1, ..., xn) являє собою квадратичну форму, тобто . Тоді функція V (x1, ..., xn) є позитивно певної, якщо позитивно визначена вищевказана квадратична форма. Дамо знакоопределенной функції V (x1, ..., xn) геометричну інтерпретацію. Розглянемо функцію двох змінних V (x1, x2). На площині x1, x2 лінія V (x1, x2) = з (c - деяке число) представляє собою замкнуту криву, яка містить в собі початок координат (рис. 3). При c = 0 крива стягується в початок координат. Нехай si (t) - деякий розв'язок системи (1), яке задовольняє початковим умовам si (t0) = xi0. Повної похідною за часом t функції V (x1, ..., xn) в силу системи (1) називається функція , або, враховуючи формулу повної похідної, . З цієї формули випливає, що похідна в силу системи (1) не залежить від обраного рішення s (t), а є функцією точки . Інакше отриманий вираз можна записати так: . являє собою скалярний твір вектора на вектор фазової швидкості
Схожі статті