тілесний кут

Обчислення тілесних кутів

Для довільної стягивающей поверхні Шаблон: Math тілесний кут Шаблон: Math. під яким вона видна з початку координат, дорівнює

$\backslash \; Omega\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\_S\; d\; \backslash \; Omega$

= \ Iint \ limits_S \ sin \ vartheta \, d \ varphi \, d \ vartheta = \ int \ limits_S \ frac / r) \ cdot \ mathbfdS>,

де $r,\; \backslash \; vartheta,\; \backslash \; varphi$ - сферичні координати елемента поверхні $dS,$ $\backslash \; mathbf$ - його радіус-вектор, $\backslash \; mathbf$ - одиничний вектор, нормальний до $dS.$

Властивості тілесних кутів

1. Повний тілесний кут (повна сфера) дорівнює 4Шаблон: Math стерадіан.
2. Сума всіх тілесних кутів, двоїстих до внутрішніх тілесним кутах опуклого багатогранника. дорівнює повному кутку.

Величини деяких тілесних кутів

• Трикутник з координатами вершин $\backslash \; mathbf\_1$, $\backslash \; mathbf\_2$, $\backslash \; mathbf\_3$ видно з початку координат під тілесним кутом

$\backslash \; Omega\; =\; 2\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \backslash ,\; \backslash \; frac\_1\; \backslash \; mathbf\_2\; \backslash \; mathbf\_3)>\; \_\; 1\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\_2)\; r\_3\; +\; (\backslash \; mathbf\_2\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\_3)\; r\_1\; +\; (\backslash \; mathbf\_3\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\_1)\; r\_2>,$

де $(\backslash \; Mathbf\_1\; \backslash \; mathbf\_2\; \backslash \; mathbf\_3)$ - змішане твір даних векторів, $(\backslash \; Mathbf\_i\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\_j)$ - скалярні твори відповідних векторів, напівжирним шрифтом позначені вектори, нормальним шрифтом - їх довжини. Використовуючи цю формулу, можна обчислювати тілесні кути, стягнуті довільними багатокутниками з відомими координатами вершин (для цього достатньо розбити багатокутник на непересічні трикутники).

• Тілесний кут при вершині прямого кругового конуса з кутом розчину α дорівнює $\backslash \; Omega\; =\; 2\; \backslash \; pi\; (1\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; frac)$. Якщо відомі радіус підстави $R$ і висота $H$ конуса, то $\backslash \; Omega\; =\; 2\; \backslash \; pi\; (1\; -\; \backslash \; frac>)$. Коли кут розчину конуса малий, $\backslash \; Omega\; \backslash \; approx\; \backslash \; frac$ ($\backslash \; alpha$ виражено в радіанах), або $\backslash \; Omega\; \backslash \; approx\; 0,000239\; \backslash \; alpha\; ^\; 2$ ($\backslash \; alpha$ виражено в градусах). Так, тілесний кут, під яким із Землі видно Місяць і Сонце (їх кутовий діаметр приблизно дорівнює 0,5 °), складає близько 6 · 10 -5 стерадіан, або ≈0,0005% площі небесної сфери (тобто повного тілесного кута) .

• Тілесний кут двогранного кута в стерадіанах дорівнює подвоєному значенню двогранного кута в радіанах.

• Тілесний кут тригранного кута виражається по теоремі Люілье через його плоскі кути $\backslash \; Theta\_a,\; \backslash \; theta\_b,\; \backslash \; theta\_c$ при вершині, як:

де $\backslash \; Theta\_s\; =\; \backslash \; frac$ - напівпериметр. Через двогранні кути $\backslash \; Alpha,\; \backslash \; beta,\; \backslash \; gamma$ тілесний кут виражається як: $\backslash \; Omega\; =\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; +\; \backslash \; gamma\; -\; \backslash \; pi.$

• Тілесний кут при вершині куба (або будь-якого іншого прямокутного паралелепіпеда) дорівнює $\backslash \; frac$ повного тілесного кута, або $\backslash \; frac$ стерадіан.

• Тілесний кут, під яким видно грань [[правильний багатогранник | правильного Шаблон: Math -гранніка]] з його центру, дорівнює $\backslash \; frac$ повного тілесного кута, або $\backslash \; frac$ стерадіан.

Схожі статті

• Чи не заганяйте щура в кут або чому путин зараз найбільш небезпечний • портал антикор

• Смоленська газета () - вугільний кут

• Заломлює кут - велика енциклопедія нафти і газу, стаття, сторінка 1