Тип уроку: вивчення нового матеріалу.
Вид уроку: пояснювально-демонстраційний з елементами практикуму.
Тривалість уроку: 2 уроки по 45 хвилин.
Мета уроку.- Дати поняття правильного багатогранника, напівправильних і зірчастих багатогранників.
- Розглянути властивості багатогранників.
- Ознайомити учнів з історією виникнення і розвитку теорії багатогранників.
- Розширити уявлення учнів про навколишній світ з точки зору теорії правильних багатогранників.
- Ознайомити з історією виникнення та розвитку теорії багатогранників.
- Ввести поняття правильного багатогранника.
- Розглянути властивості правильних багатогранників.
- Формування просторових уявлень учнів.
- Формування вміння узагальнювати, систематизувати, бачити закономірності.
- Розвиток монологічного мовлення учнів.
- Розвиток прагнень до активної пізнавальної діяльності.
- Виховання естетичного почуття.
- Виховання вміння слухати.
- Формування інтересу до предмета.
- Визначення правильних багатогранників.
- Види правильних багатогранників.
- Знати властивості правильних багатогранників.
- Знати формулу Ейлера.
- Розрізняти п'ять видів правильних багатогранників.
- Користуватися формулою Ейлера для визначення властивостей правильних багатогранників.
- Підручник. Геометрія, 10-11 класи.
- Комп'ютери.
- Проектор або інтерактивна дошка.
- Моделі правильних і напівправильних багатогранників, розгортки правильних і напівправильних багатогранників.
- Репродукції картин Сальвадора Далі "Таємна вечеря", "гиперкубической розп'яття", А. Дюрера "Меланхолія", портрет І. Кеплера, зображення скульптури "Платон".
- Таблиці, зображення "Космічний кубок" Кеплера (моделі Сонячної системи)
- Заготовки для виконання моделей правильного багатогранника.
Підготовча робота: учні готують реферати і повідомлення на 5-6 хвилин із запропонованих тем під керівництвом вчителів математики, фізики, хімії, біології.
1. Орг.момент (2 хвилини).
2. Цілепокладання (2 хвилини).
Учитель: Є в шкільній геометрії особливі теми, які чекаєш з нетерпінням, передчуваючи зустріч з неймовірно красивим матеріалом. До таких тем можна віднести тему "Правильні багатогранники". Тут не тільки відкривається дивовижний світ геометричних тіл, які мають неповторними властивостями, але і цікаві наукові гіпотези. Жодні геометричні тіла не мають такою досконалістю і красою, як правильні багатогранники. Сьогодні на уроці ми дізнаємося і побачимо багато цікавого, ми маємо відповісти на такі питання, як, наприклад: Які багатогранники називаються правильними? Скільки їх існує? Що таке Ейлерова характеристика? Які тіла звуться тел Кеплера-Пуансо? І багато - багато інших ... І, нарешті, де, навіщо і для чого нам потрібні багатогранники? Може бути, в житті можна обійтися і без них? Даний матеріал стане в нагоді нам при вивченні теми "Обсяги багатогранників" і при вирішенні задач на комбінацію геометричних тіл.
3. Вивчення нового матеріалу.
Пояснення нового матеріалу учителем. (15 хвилин).
Учитель: Мені хотілося б почати зі слів Бертрана Рассела: "Математика володіє не тільки істиною, а й вищою красою - красою відточеною і суворої, піднесено чистої і прагне до справжнього досконалості, яке властиво лише найбільшим зразкам мистецтва". Назва "правильні" йде від античних часів, коли прагнули знайти гармонію, правильність, досконалість в природі і людині. Правильні багатокутники - це багатокутники, у яких всі сторони і всі кути рівні, правильні багатогранники - це багатогранники, обмежені правильними і однаковими багатокутниками.
Правильних багатогранників - опуклий багатогранник, грані якого є правильними багатокутниками з одним і тим же числом сторін і в кожній вершині якого сходиться одне і те ж число ребер.
У природі відомі, п'ять правильних багатогранників: тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр.
Вивчаючи будь-багатогранники, необхідно, звичайно ж, визначити його властивості, для цього пропоную визначити кількість граней, ребер і вершин. Підрахуємо і ми число зазначених елементів правильних багатогранників і зафіксуємо результати в таблиці 1.
Розглядаючи табл. 1, задамося питанням: "чи немає закономірності в зростанні чисел в кожному стовпці?" Мабуть, немає. Ось в стовпці "межі" все спочатку пішло добре (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потім намічена закономірність "провалилася" (8 + 2). У стовпці "вершини" немає навіть стабільного зростання. Число вершин то зростає (від 4 до 8, від 6 до 20), а то й убуває (від 8 до 6, від 20 до 12). У стовпці "ребра" закономірності теж не видно. Але не будемо здаватися. У нас ще є поле для експерименту. Адже ми порівнювали числа всередині одного стовпчика. Але можна розглянути суму чисел в двох стовпчиках, хоча б в шпальтах "межі" і "вершини" (Г + В). Порівняємо нову таблицю своїх підрахунків (таблиця. 2).
Сума граней і вершин
Ось тепер закономірність видна.
Сформулюємо її так: "Сума числа граней і вершин дорівнює числу ребер, збільшеному на 2": Г + В = Р + 2.
Отже, отримана формула, яка була помічена вже Декартом в 1640 р а пізніше перевідкриття Ейлером (1752), ім'я якого з тих пір вона і носить. Формула Ейлера вірна для будь-яких опуклих багатогранників. (Малюнок 1). додаток
Звичайно, крім цього властивості необхідно відзначити, що ребра правильного багатогранника рівні між собою і що рівні також всі двогранні кути, що містять дві грані із загальним ребром. Отже, радіус вписаного і описаного сфери багатогранника збігаються.
Задамося тепер питанням про те, скільки правильних багатогранників існує. Розглядаючи багатогранник, бачимо, що кожна вершина може належати трьом і більше граней, інакше не виходить простору.
Спочатку розглянемо випадок, коли межі багатогранника - рівносторонній трикутники. Оскільки внутрішній кут рівностороннього трикутника дорівнює 60 °, три таких кута дадуть в розгортці 180 °. Якщо тепер склеїти розгортку в багатогранний кут, вийде тетраедр - багатогранник, в кожній вершині якого зустрічаються три правильні трикутні грані. Якщо додати до розгортці вершини ще один трикутник, в сумі вийде 240 °. Це розгортка вершини октаедра. Додавання п'ятого трикутника дасть кут 300 ° - ми отримуємо розгортку вершини ікосаедра. Якщо ж додати ще один, шостий трикутник, сума кутів стане рівною 360 ° - ця розгортка, очевидно, не може відповідати жодному опуклого багатограннику.
Тепер перейдемо до квадратних граней. Розгортка з трьох квадратних граней має кут 3x90 ° = 270 ° - виходить вершина куба, який також називають Гексаедр. Додавання ще одного квадрата збільшить кут до 360 ° - цієї розгортці вже не відповідає ніякої опуклий багатогранник.
Три п'ятикутні грані дають кут розгортки 3 * 108 ° = 324 ° - вершина додекаедра. Якщо додати ще один п'ятикутник, отримаємо більше 360 °.
Для шестикутників вже три грані дають кут розгортки 3 * 120 ° = 360 °, тому правильного опуклого багатогранника з шестикутними гранями не існує. Якщо ж грань має ще більше кутів, то розгортка матиме ще більший кут. Значить, правильних опуклих багатогранників з гранями, що мають шість і більше кутів, не існує. Таким чином, ми переконалися, що існує лише п'ять опуклих правильних багатогранників - тетраедр, октаедр і ікосаедр з трикутними гранями, куб (гексаедр) з квадратними гранями і додекаедр з п'ятикутними гранями.
Тетраедрами - правильний багатогранник, поверхня якого складається з чотирьох правильних трикутників.
Гексаедр (КУБ) - правильний багатогранник, поверхня якого складається з шести правильних чотирикутників (квадратів
Октаедр - правильний багатогранник, поверхня якого складається з восьми правильних трикутників.
Додекаедрів - правильний багатогранник, поверхня якого складається з дванадцяти правильних п'ятикутників.
Ікосаедр - правильний багатогранник, поверхня якого складається з двадцяти правильних трикутників. Назви цих багатогранників прийшли із Стародавньої Греції, і в них вказується число граней:
Всі правильні багатогранники були відомі ще в Стародавній Греції, і їм присвячена заключна, 13-а книга знаменитих "Начал" Евкліда. Як говорилося раніше, ці багатогранники часто називають також Платоновим тілами - в ідеалістичної картині світу, даної великим давньогрецьким мислителем Платоном, чотири з них уособлювали 4 стихії: тетраедр - вогонь, куб - землю, ікосаедр - воду, октаедр - повітря, п'ятий же багатогранник, додекаедр, символізував все світобудову - його по-латині стали називати quinta essentia (квінта есенція), що означає все з моє головне, основне, справжню сутність чого-небудь.
Учитель: А тепер від Стародавньої Греції перейдемо до Європи XVI - XVII ст. коли жив і творив чудовий німецький астроном, математик Йоганн Кеплер (1571-1630).
Учитель: Луї Керролл писав: "Правильних багатогранників зухвало мало, але цей досить скромний за чисельністю загін зумів пробратися в самі глибини різних наук".
У глибини яких наук пробралися правильні багатогранники? Де в житті ми можемо їх зустріти? Малюнок 14, Малюнок 14-1, малюнок 14-2, малюнок 14-3.
4. Виступи учнів з доповідями. (По 5-6 хвилин).
5. Практична робота (15 хвилин).
1 група - довести, що правильних багатогранників 5.
2 група - заповнити таблиці і зробити висновок. (Моделі).
3 група - вивести формули повної поверхні правильних багатогранників.
4-5 групи - намалювати розгортки (на комп'ютері).
6. Звіт груп про роботу (15 хвилин).
Один представник групи звітує про результати біля дошки (3-4 хвилини кожній групі).
Учні роблять відповідні записи в зошиті.
7. Рефлексія (7-8 хвилин).
При наявності часу вчитель проводить комп'ютерне тестування (рефлексія засвоєння навчального матеріалу), якщо часу мало, то тільки рефлексію навчальної діяльності, а на наступному уроці - тест, рефлексію засвоєння учнями навчального матеріалу.
Тест первинного закріплення. (Учні займають місця за комп'ютерами по 2)
- Які багатогранники називаються правильними.
- Опуклий багатогранник називається правильним, якщо всі його грані - правильні багатокутники.
- Опуклий багатогранник називається правильним, якщо всі його грані - правильні багатокутники і в кожній його вершині сходиться одне і те ж число ребер
- Опуклий багатогранник називається правильним, якщо в основі лежить правильний багатокутник і основа висоти збігається з центром багатогранника
- Апофема це -
- Висота призми
- Висота підстави піраміди
- Висота бічної грані.
- Скільки у тетраедра граней, ребер, вершин
- Г-4; Р-4; О 6.
- Г-4; Р-6; В 4.
- Г-6; Р-4; В 4.
- Ребро куба 2 см. Чому дорівнює площа повної поверхні.
- 24
- 16
- 48
- Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює
- периметр підстави на апофему
- напівпериметр підстави на висоту
- Периметр підстави на висоту.
- Чи можуть всі грані трикутної піраміди бути прямокутними трикутниками?
- Так
- немає
- На які багатогранники розсікає трикутну призму площина, що проходить через вершину верхньої основи і протилежну їй сторону нижньої основи?
- трикутну і чотирикутну піраміди.
- дві трикутні призми.
- дві трикутні піраміди.
- Космонавт повідомив на базу, що виявив дивний космічний об'єкт. Це геометрично правильне тверде тіло, яке виглядає однаково, якою б гранню ні повернулося. Так було до тих пір, поки космонавт до нього не доторкнувся. Після чого три грані космічного тіла пульсують червоними вогнями, три - блакитними, а решта шість - зеленими. Вчені на базі досі намагаються визначити, що це за вогні. Однак тепер вони знають форму всіх граней космічного об'єкта. А ви знаєте?
- ікосаедр
- додекаедр
- архимедова тіло
Рефлексія діяльності учнів на уроці.
- Що сподобалося на уроці?
- Який матеріал був найбільш цікавий?
- Оцініть свою роботу на уроці: погано працював, добре, відмінно. Підніміть руки, хто працював погано? Чому? І т.д.
- Зв'язок геометрії, з якими науками ви побачили сьогодні на уроці?
- У яких ще областях діяльності можна зустрітися з правильними многогранниками?
- Як ви думаєте, чи знадобляться вам знання даної теми у вашій майбутній професії?
8. Підведення підсумків. Виставляння оцінок (2 хвилини).
9. Домашнє завдання.
Виготовити моделі 5 правильних багатогранників. За бажанням - напівправильних і зірчастих (додаткова оцінка). (Учням можна роздрукувати розгортки багатогранників, які намалювали 4 і 5 групи). Малюнок 15.