Процес усного рахунку
Процес усного рахунку можна розглядати як технологію рахунку, що об'єднує уявлення і навички людини про числах, математичні алгоритми арифметики.
Є три види технології усного рахунку. які використовують різні фізичні можливості людини:
- рахунок «на пальцях»;
- аудіомоторная технологія рахунку;
- візуальна технологія рахунку.
Характерною особливістю аудіомоторного усного рахунку є супровід кожної дії і кожного числа словесної фразою типу «двічі два - чотири». Традиційна система рахунку є саме аудіомоторной технологією. Недоліками аудіомоторного способу ведення розрахунків є:
- відсутність в запам'ятовується фразі взаємозв'язків з сусідніми результатами,
- неможливість виділити у фразах про таблиці множення окремо десятки і одиниці твори без повторення всієї фрази;
- неможливість звернути фразу назад від відповіді до множників, що важливо для виконання ділення з залишком;
- повільна швидкість відтворення словесної фрази.
Супервичіслітелі, демонструючи високі швидкості мислення, використовують свої візуальні здібності і відмінну зорову пам'ять. Люди, які володіють швидкісними обчисленнями, не використовують слів в процесі вирішення арифметичного прикладу в розумі. Вони демонструють реальність візуальної технології усного рахунку. позбавленої головного недоліку - сповільненій швидкості виконання елементарних дій з числами.
Усний рахунок в початковій школі
Вироблення навичок усного рахунку займає особливе місце в початковій школі і є однією з головних задач навчання математики на цьому етапі [1]. Саме в перші роки навчання закладаються основні прийоми усних обчислень, які активізують розумову діяльність учнів, розвивають у дітей пам'ять, мова, здатність сприймати на слух сказане, підвищують увагу та швидкість реакції [1].
Тренажери для усного рахунку
У цьому розділі не вистачає посилань на джерела інформації.
Конструкція цифровий вертушки. Нерухома основа вертушки є площину з малюнками цифр, розставлених в форматі Т-матриці з трьох рядків і трьох стовпців. На основу накладається повертається площину (пропелер) на якій намальовані стрілочки, підказують відповіді. Вісь обертання пропелера збігається з центром нерухомої Т-матриці. Єдине доступне рух - це поворот пропелера навколо осі [3].
Принцип дії цифрової вертушки полягає в наступному. Запишемо суму однозначний чисел A + B = [D; E] двома цифрами десятків D і одиниць Е. Всі приклади з однаковою величиною доданка + B назвемо листом складання.
Цифру одиниць E прикладу складання показуємо стрілочкою від A до E. Ця стрілочка називається покажчиком одиниць суми.
Стрілки на аркуші складання утворюють ламані лінії блискавок.
Правило одиниць. Додавання A + B виконується шляхом переходу по стрілочки-вказівником, зображеної на аркуші складання (+ B), від цифри A до цифри E одиниць суми.
Приклад 2 + 1. Буде потрібно лист складання (+1). Встановимо фішку-мітку на цифру 2 на T-матриці. Переміщаємо фішку по стрілочки блискавки, що виходить з точки 2. Кінець покажчика показує суму 3.
Приклад 7 + 7. Беремо лист складання (+7). Встановимо фішку-мітку на цифру 7 на T-матриці. Переміщаємо фішку по стрілочки «крок вгору» на 7-й блискавки, що виходить з точки A = 7. Кінець покажчика показує цифру одиниць E = 4.
Застосовуємо правило десятків. Якщо на покажчику одиниць суми A-> E є інверсія, тобто, A> E, тоді цифра десятків суми D = 1 [4].
Правило повороту променів (чисел) на Т-матриці можна розглядати як мнемонічне правило. зручне для запам'ятовування всіх прикладів 3-го листка множення. Якщо вчитель попросить підрахувати 3x7, учень згадає картинку Т-матриці з потрібними променями і прочитає по ній цифри відповіді, називаючи числа словами. Однак при геометричних обчисленнях в розумі слова не потрібні, так як слова з'являються в свідомості обчислювача після картинки, де вже вказані цифри відповіді. Одночасно з картинкою, що виникає в пам'яті людини, число результату вже отримано і усвідомлено.
Слід звернути увагу на те, що елементи зображення в наочної арифметиці стандартизовані, вони можуть розглядатися як мову візуальних образів. послідовність яких (відповідна алгоритму) еквівалентна проведення розрахунків. Виникаючі в пам'яті картинки можуть бути динамічними. як в кіно, або ж статичними. якщо на одній геометричній схемі показані і вихідні дані, і числа результату. Однокрокові алгоритми краще багатокрокових.
Щоб згадати потрібну картинку для отримання цифр відповіді елементарного прикладу, потрібно інтервал часу 0,1-0,3 секунди. Зауважимо, що при вирішенні елементарних прикладів геометричним способом немає ніякого збільшення навантаження на психіку. За фактом, геометричний рахунок у тренованого обчислювача автоматично є швидкісним рахунком.
Комп'ютер «на пальцях».
Аналогічно: правило одиниць множення на 7 - це правило лівої руки [7].
Правило одиниць множення на 9 - це шпагат з пальців [8].
Щоб показати величину десятків твори AxB, можна скористатися ступінчастими моделями листів множення, вид і особливості яких ми запам'ятовуємо так само, як рельєф місцевості. Висота руки над підставою (підлогою) показує величину десятків. Якщо цифра D перевершує 5, то основу підлоги буде відповідати D = 5, а верхній рівень руки - 9 [12].
Феномен особливих здібностей в усному рахунку зустрічається з давніх пір. Як відомо, ними володіли багато вчених, зокрема, Андре Ампер і Карл Гаусс. Однак, вміння швидко вважати було притаманне і багатьом людям, чия професія була далека від математики і науки в цілому.
До другої половини XX століття на естраді були популярні виступи фахівців в усному рахунку [13]. Іноді вони влаштовували показові змагання між собою, що проводилися в тому числі і в стінах шановних навчальних закладів, включаючи, наприклад, Московський державний університет імені М. В. Ломоносова [13].
Серед відомих російських «супер лічильників»:
Хоча деякі фахівці запевняли, що справа у вроджених здібностях [31]. інші аргументовано доводили протилежне: «справа не тільки і не стільки в якихось виняткових," феноменальних "здібностях, а в знанні деяких математичних законів, що дозволяють швидко робити обчислення» і охоче розкривали ці закони [13].
Істина, як завжди, виявилася на якійсь «золотої середини» поєднання природних здібностей і грамотного, працьовитого їх пробудження, плекання і використання. Ті, хто, дотримуючись Трохима Лисенка, сподіваються виключно на волю і наполегливість, з усіма вже добре відомими способами і прийомами усного рахунку зазвичай при всіх стараннях не піднімаються вище дуже і дуже середніх досягнень. Більш того, наполегливі спроби «гарненько навантажити» мозок такими заняттями, як усний рахунок, шахи наосліп і т. П. Легко можуть привести до перенапруження і помітного падіння розумової працездатності, пам'яті і самопочуття (а в найбільш важких випадках - і до шизофренії). З іншого боку, і обдаровані люди при безладному використанні своїх талантів в такій області, як усний рахунок, швидко «перегорають» і перестають бути в змозі довго і стійко показувати яскраві досягнення.
Змагання за усним рахунком
Усний рахунок в мистецтві
У Росії добре відома картина російського художника Миколи Богданова-Бельського «Усний рахунок. У народній школі С. А. Рачинського », написана в 1895 році. Наведена на дошці завдання, над якою розмірковують учні, вимагає досить високих навичок усного рахунку і кмітливості. Ось її умова:
Деякі прийоми усного рахунку
Для множення числа на однозначний множник (наприклад, 34 × 9) усно, необхідно виконувати дії, починаючи зі старшого розряду, послідовно складаючи результати (30 × 9 = 270, 4 × 9 = 36, 270 + 36 = 306) [36].
Для ефективного усного рахунку корисно знати таблицю множення до 19 * 9. В цьому випадку множення 147 * 8 виконується в розумі так: 147 × 8 = 140 × 8 + 7 × 8 = 1120 + 56 = 1176 [36]. Однак, не знаючи таблицю множення до 19 × 9, на практиці зручніше обчислювати всі подібні приклади методом приведення множника до базового числа: 147 × 8 = (150-3) × 8 = 150 × 8-3 × 8 = 1200-24 = 1176 , причому 150 × 8 = (150 × 2) × 4 = 300 × 4 = 1200.
Якщо одне з множимо розкладається на однозначні множники, дія зручно виконувати, послідовно перемножая на ці множники, наприклад, 225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3 = 1350 [36]. Також, простіше може виявитися 225 × 6 = (200 + 25) × 6 = 200 × 6 + 25 × 6 = 1200 + 150 = 1350.
Кілька способів усного рахунку:
- Множення на 10. Призначити справа нуль: 48 × 10 = 480.
- Множення на 9. Для того щоб помножити число на 9 треба до множимо приписати 0 і від одержуваного числа відняти множимое, наприклад 45 × 9 = 450-45 = 405.
- Множити на 5 зручніше так: спочатку помножити на 10, а потім розділити на 2
- Множення на 11 двозначного числа [N; A]. Розсунути цифри N і A, вписати посередині суму (N + A).
наприклад, 43 × 11 = [4; (4 + 3); 3] = [4; 7; 3] = 473.
- При множенні на 1,5 множити потрібно розділити навпіл і додати до множити, наприклад 48 × 1,5 = 48/2 + 48 = 72. Можна застосувати при множенні на 15 48 × 1,5 × 10 = 720.
- Зведення числа виду [N; 5] (закінчується п'ятіркою) в квадрат проводиться за схемою: множимо N на N + 1, записуємо в сотні, і приписуємо 25 справа. Формула: [N; 5] × [N; 5] = [(N × (N + 1)); 2; 5].
Доказ (10N + 5) × (10N + 5) = (N × (N + 1)) x 100 + 25. Наприклад, 65² = 6 × 7 і приписуємо справа 25, отримаємо 4225 або 95² = 9025 (сотні 9 × 10 і приписати 25 праворуч).
- Числа, близькі до зручних для множення чисел можна зводити в квадрат за допомогою формули A² = (A + d) (A - d) + d² (наприклад, 42² = (42 + 2) (42 - 2) + 2² = 44 × 40 + 4 = 1760 + 4 = 1764). Так само можна множити числа, що знаходяться на однаковому невеликій відстані від зручних, наприклад: 23 × 17 = (20 + 3) (20 - 3) = 20² - 3² = 400 - 9 = 391. [37]