Це правило складання може тепер використовуватися як реальний критерій перевірки, чи є деяка величина вектором чи ні. Переміщення зазвичай підкоряються умовам цього правила; то ж можна сказати і про швидкостях; сили складаються таким же чином, як можна було бачити з «трикутника сил». Однак, деякі величини, які мають як чисельними значеннями так і напрямками, не підкоряються цьому правилу, тому не можуть розглядатися як вектори. Прикладом є кінцеві обертання.
Множення вектора на скаляр.
Твір mA або Am. де m (m № 0) - скаляр, а A - ненульовий вектор, визначається як інший вектор, який в m разів довше A і має теж напрямок що і A. якщо число m позитивно, і протилежне, якщо m негативно, як показано на Мал. 4, де m дорівнює 2 і -1/2 відповідно. Крім того, 1A = A. тобто при множенні на 1 вектор не змінюється. Величина -1A - вектор, який дорівнює A по довжині, але протилежний за напрямком, зазвичай записується як -A. Якщо А - нульовий вектор і (або) m = 0, то mA - нульовий вектор. Множення дистрибутивно, тобто
Ми можемо складати будь-яке число векторів, причому порядок доданків не впливає на результат. Вірно і зворотне: будь-який вектор розкладається на дві або більше «компоненти», тобто на два вектора або більше, які, будучи складеними, як результуючий дадуть вихідний вектор. Наприклад, на рис. 2, A і B - компоненти C.
Багато математичні дії з векторами спрощуються, якщо розкласти вектор на три компоненти за трьома взаємно перпендикулярним напрямам. Виберемо праву систему декартових координат з осями Ox. Oy і Oz як показано на рис. 5. Під правою системою координат ми маємо на увазі, що осі x. y і z розташовуються так, як можуть бути розташовані відповідно великий, вказівний і середній пальці правої руки. З однієї правої системи координат завжди можна отримати іншу праву систему координат відповідним обертанням. На рис. 5, показано розкладання вектор A на три компоненти і. Вони в сумі складають вектор A. так як
Можна було б також спочатку скласти і отримати. а потім до додати.
Проекції вектора А на три координатні осі, позначені Ax. Ay і Az називаються «скалярними компонентами» вектора A:
де a. b і g - кути між A і трьома координатними осями. Тепер введемо три вектора одиничної довжини i. j і k (орти), що мають те ж саме напрям, що і відповідні осі x. y і z. Тоді, якщо Ax помножити на i. то отримане твір - це вектор, рівний. і
Два вектора рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх відповідні скалярні компоненти. Таким чином, A = B тоді і тільки тоді, коли Ax = Bx. Ay = By. Az = Bz.
Два вектора можна скласти, складаючи їх компоненти:
Крім того, за теоремою Піфагора: