Шукане кореляційне відношення
Властивості вибіркового кореляційного відносини
оскільки # 951; xy має ті ж властивості, що й # 951; yx. перерахуємо властивості тільки вибіркового кореляційного відносини # 951; yx. яке далі для спрощення запису будемо позначати через # 951; і для простоти мови називати «кореляційним відношенням».
Властивість 1. Корреляционное відношення задовольняє подвійному нерівності
0≤ # 951; ≤1.
Доведення. нерівність # 951; ≥0 випливає з того, що # 951; є ставлення невід'ємних чісел- середніх квадратичних відхилень (міжгрупового до загального).
Для доказу нерівності # 951; ≤1 скористаємося формулою
Розділивши обидві частини рівності на Dобщ отримаємо
Так як обидва доданків невід'ємні і сума їх дорівнює одиниці, то кожне з них не перевищує одиниці; зокрема, # 951; 2 ≤1. Взявши до уваги, що # 951; ≥0, робимо висновок:
0≤ # 951; ≤1.
Властивість 2. Якщо # 951; = 0, то ознака Н з ознакою Х кореляційної залежністю не пов'язаний. Доведення. За умовою,
Звідси # 963; межгр = 0 і, отже, Dмежгр = 0.
Межгрупповая дисперсія є дисперсія умовних (групових) середніх щодо загальної середньої. Рівність нулю груповий дисперсії означає, що при всіх значеннях Х умовні середні зберігають постійне значення (рівне загальної середньої). Іншими словами, при # 951; = 0 умовна середня не є функцією від X, а значить, ознака Y не пов'язаний кореляційної залежністю з ознакою X.
Зауваження 1. Можна довести і зворотне пропозицію: якщо ознака Y не пов'язаний з ознакою Х кореляційної залежністю, # 951; = 0.
Властивість 3. Якщо # 951; = 1, то ознака Y пов'язаний з ознакою Х функціональною залежністю.
Доведення. За умовою,
Звівши обидві частини рівності в квадрат, отримаємо
Оскільки внутригрупповая дисперсія є середня арифметична групових дисперсій (зважена за обсягами груп), то з (**) випливає, що дисперсія кожної групи, (значень Y, що відповідають певному значенню X) дорівнює нулю. А це означає, що в групі містяться рівні значення Y, т. Е. Кожному значенню Х відповідає одне значення V. Отже, при # 951; = 1 ознака Y пов'язаний з ознакою Х функціональною залежністю.
Зауваження 2. Можна довести і зворотне припущення:
якщо ознака Y пов'язаний з ознакою Х функціональною залежністю, то # 951; = 1.
Наведемо ще два властивості, опустивши докази. Властивість 4. Вибіркове кореляційне отношеніене менше абсолютної величини вибіркового коефіцієнта кореляції: # 951; ≥ | rв |.
Властивість 5. Якщо вибіркове кореляційне відношення дорівнює абсолютній величині вибіркового коефіцієнта кореляції, то має місце точна лінійна кореляційна залежність.
Іншими словами, якщо # 951; = | rв |, то точки (х1. У1), (x2. Y2). (Xn. Yn) лежать на прямій лінії регресії, знайденої способом найменших квадратів.