Функція f (x) називається парною, якщо для будь-якого x ∈ D виконуються рівності:
1) - x ∈ D,
2) f (-x) = f (x).
Графік парної функції на всій області визначення симетричний щодо осі OY. Прикладами парних функцій можуть служити y = cos x. y = | x |. y = x 2 + | x | .
Графік парної функції y = | x | cos x + cos x | x 2 - 5 |. Графік непарної функції y = 0,4 x 3 - 4 x cos x.
Функція f (x) називається непарною, якщо для будь-якого x ∈ D виконуються рівності:
1) - x ∈ D.
2) f (-x) = -f (x).
Іншими словами функція називається непарної, якщо її графік на всій області визначення симетричний відносно початку координат. Прикладами непарних функцій є y = sin x. y = x 3.
Не слід думати, що будь-яка функція є або парному, або непарному. Так, функція y = x + 1 не є ні парною, ні непарною, так як її область визначення D = [- 1; ∞) несиметрична відносно початку координат. Область визначення функції y = x 3 + 1 охоплює всю числову вісь і тому симетрична щодо початку координат, однак f (-1) ≠ f (1).
Якщо область визначення функції симетрична відносно початку координат, то цю функцію можна представити у вигляді суми парної і непарної функцій.
Такий сумою є функція f x = f x + f - x 2 + f x - f - x 2. Перший доданок є парною функцією, друге - непарної.
Парні і непарні функції
Дослідження функцій на парність полегшується наступними твердженнями.
- Сума парних (непарних) функцій є парною (непарної) функцією.
- Твір двох парних або двох непарних функцій є парною функцією.
- Твір парній і непарній функції є непарною функцією.
- Якщо функція f парна (непарна), то і функція 1 / f парна (непарна).