Очевидно, що при. При цьому, звідки. отримуємо:
Безперервність і типи розривів.
Якщо чи межі взагалі не існує, то говорять, що функція має розрив в точці. Всього є три типи розривів.
1) Усувний розрив. коли існує, але.
Приклад. Довизначити функцію при значенням. Оскільки, то функція виявиться розривної в точці. Однак, змінивши значення функції за все в одній точці, ми отримаємо в результаті безперервну функцію, тобто ми усунемо розрив.
2) Розрив 1-го роду. Якщо існує межа зліва і межа праворуч, але, то кажуть, що функція має розрив першого роду з точки.
Приклад. Розглянемо функцію і точку. маємо
При межа відрізняється знаком:
Таким чином, точка є точкою розриву першого роду функції.
3) Всі інші розриви вважаються розривами 2-го роду.
Якщо то . Якщо то .
Приклад 2.,. Якщо і при цьому,, то. Якщо, але,, то тоді. Таким чином ніякої межі (ні праворуч, ні ліворуч) у функції в точці немає.
Визначення. Число називається похідною функції в точці, якщо існує межа
(Границя відношення приросту функції в точці до приросту аргументу).
Похідна позначається як або як.
Для січною графіка (прямий, що з'єднує точки і) дріб дорівнює кутовому коефіцієнту прямої
Тут позначають координати поточної точки січної. Таким чином, показує, наскільки плавно (гладко) змінюється січна при.
Визначення. Дотична до графіка функції в точці є граничне положення січних прі.
З визначення випливає, що рівняння дотичної є
Геометричний зміст похідної полягає в тому, що вона є кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка функції в точці.
Фізичний зміст похідної. Нехай є час, протягом якого матеріальна точка рухається вздовж прямої, а позначає відстань до деякої точки відліку. Тоді функція є закон руху і визначає зміна положення точки з часом.
При такій інтерпретації є відстань, яке проходить матеріальна точка за час. Отже, дріб є середня швидкість руху за час. Переходячи до межі при, отримуємо, що є миттєва швидкість руху, описуваного законом. Це і є фізичний зміст похідної.
Найпростіші властивості похідних.
Властивості меж визначають наступні властивості похідних.
2) для довільної константи.
3) Якщо похідна в точці існує, то функція неперервна в цій точці.
Похідні за визначенням.
Довжина пройденого шляху дорівнює, з одного боку,, а з іншого боку, (довжина дуги). отже,
Функція, обернена до функції, не може бути виражена через елементарні функції. Тому явне уявлення також не може бути отримано в класі елементарних функцій.
Нехай є параметричне представлення функції.
Доведення. Нехай - функція, обернена до функції. Тоді, тому
По теоремі про похідну оберненої функції маємо, де. отже,
Похідна неявної функції.
Іноді функцію можна задати неявно, за допомогою деякого рівняння, що залежить від змінних і:.
У такому випадку говорять, що функція задана неявно.
Приклад 1. Û .
Однак в явному вигляді висловити функцію за допомогою елементарних функцій можна не завжди.
Нехай точка належить множині рішень рівняння (тобто), і нехай - деяка функція, яка задовольнить умові. Як знайти похідну? Найпростіше продифференцировать тотожність і, переконавшись, що похідна входить в вийшло вираз лінійно, знайти значення.
Продовження прикладу 1.
Зокрема, якщо
Перевірка:, При отримуємо.
Визначення. Точка називається точкою локального мінімуму функції, якщо для всіх з деякого інтервалу виконано співвідношення
Якщо нерівність замінити на нерівність, то точка буде називатися точкою локального максимуму функції.
Теорема Ферма. Нехай функція визначена на деякому інтервалі і диференційована в точці. Тоді, якщо є точкою локального мінімуму або максимуму функції, то
Доведення. Нехай для визначеності є точкою локального мінімуму функції. У визначенні похідної функції в точці розглянемо межа праворуч:
У чисельнику стоїть позитивна величина, так як за припущенням. У знаменнику вираз позитивно, отже, і. Розглянемо тепер межа зліва.
У чисельнику, як і раніше, стоїть позитивна величина, а вираз в знаменнику тепер негативно, отже, і. Але тоді . Ч.т.д.
Теорема Вейєрштрасса (без доведення). Безперервна функція, певна на відрізку, досягає як свого мінімум, так і свого максимуму.
Теорема Ролля. Нехай функція неперервна на відрізку і диференційована в кожній точці інтервалу. Якщо, то знайдеться точка на інтервалі, в якій.