Для визначення абсолютних і відносних похибок шуканої величини при непрямих вимірах можна скористатися формулами диференціювання, тому що абсолютна помилка функції дорівнює абсолютної помилку аргументу, помноженої на похідну цієї функції, тобто повного диференціалу функції.
Розглянемо це більш детально. До-пустимо, що фізична величина А є функцією багатьох змінних:
Правило I. Спочатку знаходять абсолютну похибку величини А, а потім відносну похибку. Для цього необхідно:
1) Знайти повний диференціал функції
2) Замінити нескінченно малі dx, dу, dz. відповід-ветствующим абсолютними помилками аргументів Dx, Dy, Dz, ... (при цьому знаки "мінус" в абсо-лютні помилках аргументів замінюють знаками "плюс", так щоб величина помилки була максимальною):
Застосовуючи це правило до окремих випадків, отримаємо:
- абсолютна похибка суми дорівнює сумі абсолютних похибок доданків. Якщо X = a + b, то DX = Da + Db;
- абсолютна похибка різниці дорівнює сумі абсолютних похибок зменшуваного і від'ємника. Якщо X = a - b, то DX = Da + Db;
- абсолютна похибка добутку двох Зімніть-жителів дорівнює сумі творів середнього значення першого множника (aCP) на абсолютну похибку другого і середнього значення другого множника (bCP) на абсолютну похибку першого. Якщо X = а × b, то DX = aCP × Db + bCP × Dа. Якщо X = a n. то DX = n × аCP n -1 × Dа;
- абсолютна похибка дробу дорівнює сумі твори знаменника на абсолютну похибку чисельника і чисельника на абсолютну похибку знаменника, діловий-ної на квадрат знаменника. Якщо X =. то DX =.
3) За визначенням знайдемо відносну похибку
Використання диференціала натурального логарифма
У багатьох випадках, коли формула зручна для логарифмування, виявляється більш зручною інша послідовність дій: спочатку знаходять відноси-тільну похибка величини А, а потім абсолютну похибку, оскільки відносна помилка функції дорівнює диференціалу натурального логарифма цієї функції. Дійсно, відноси-кові похибка величини А є ЕА = DA / АСР. але d (lnA) = DA / А і, отже, D (lnA) = DA / А.
1) Логаріфміруют функцію A = f (x, y, z.).
2) диференціюють отриманий логарифм по всіх аргументів.
3) Заміняють нескінченно малі dx, dy, dz. абсолют-ними помилками відповідних аргументів Dx, Dy, Dz, ... (знаки "мінус" в абсо-лютні помилках аргументів замінюють знаками "плюс").
Після обчислень отримують відносну похибку ЕА.
4) читається ну ніяк похибка знаходять з формули
Вказівки. 1. Якщо функція A = f (x, y, z.) Має вигляд, незручний для логарифмування, то для визначення похибок користуються правилом I.
2. Якщо функція A = f (x, y, z.) Має вигляд, зручний для логарифмування, то для визначення похибок користуються правилом II.
Розглянемо наступні приклади:
1. В результаті вивчення рівноприскореного руху Незнач-якого тіла отримано вираз S = v0 Чt + a Чt 2/2, в якому
v0 = (12 ± 1) м / с; a = (2.5 ± 0.4) м / с 2; t = (30 ± 2) с;
S = 12 × 30 + = 1485 м.
Для оцінки абсолютної і відносної похибок при оп-ределеніі шляху зручно користуватися правилом I, так як функції не-зручна для логарифмування. тоді
DV0 = 1 м / с; Dt = 2 с; Da = 0.4 м / с 2; V0 = I2 м / с; Tср = 30 с; aСР = 2,5 м / с 2. то, підставивши ці величини в формулу для DS, отримаємо