Іноді, замість того, щоб розглядати в якості векторів безліч всіх рівних спрямованих відрізків, беруть тільки деяку модифікацію цієї множини (фактормножество). Так, говорять про «вільних» (коли ототожнюються всі рівні по довжині і напрямку спрямовані відрізки, зважаючи повністю рівними або одним і тим же вектором), «ковзають» (ототожнюються між собою всі спрямовані відрізки, рівні в сенсі вільних векторів, початки і кінці яких розташовані на одній прямій) і «фіксованих» векторах (по суті справи, просто про спрямованих відрізках, коли різний початок означає вже нерівність векторів).
Замість визначення 2 можна ввести інше визначення ра-венства векторів, згідно з яким вектори рівні, якщо вони рівні по довжині, лежать на одній прямій і направлені в одну сторону. У цьому випадку вектор може бути перенесений не в будь-яку точку достатньо міс-ва, а тільки вздовж прямої, на якій він лежить. При такому розумінні рівності вектори називаються легкими векторами. У механіці сила, що діє на абсолютно тверде тіло, зображується як-зящім вектором, при цьому відомо, що дві сили, рівні і розташовані на одній прямій, надають на тверде тіло однакове механічна дія.
Можна для векторів не вводити ніякого особливого поняття ра-венства, т. Е. Вважати, що кожен вектор дорівнює тільки самому собі і характеризується, крім довжини та напрямки в просторі, ще й точкою прикладання. В цьому випадку вектори називаються доданими (пов'язаними, «фіксованими») векторами. Як уже згадувалося, сила, що діє на нетверде (наприклад, пружне) тіло, зображується прикладеним вектором.
Якщо потрібно підкреслити, що рівність розуміється в сенсі визначення 2, то вектор називається вільним. Вільним вектором зображується, наприклад, кутова швидкість тіла. Визначення 3 визначає вільний вектор. Рівні вектори відрізняються один від одного тільки становищем початку. Однак у багатьох питаннях становище початку вектора не грає ролі, істотні лише довжина і право-тичних вектора. Відволікаючись у визначенні вектора від положення його початку, ми приходимо до поняття вільного вектора. Таким чином, вільний вектор (в просторі, на площині, на прямий) цілком визначається завданням його довжини і (якщо він ненульовий) напрямки. Рівні вектори, що не збігаються з положенням, розглядаються як різні конкретні зображення одного і того ж вільного вектора.
Так в арифметиці все рівні між собою дробу розглядають як різні зображення одного і того ж раціонального числа. При цьому в арифметиці настільки звикли ототожнювати дріб з зображуваних нею числом, що самі раціональні числа називають дробом. Подібно до цього в векторному численні вільний вектор називають просто вектором. Ми також надалі майже завжди, будемо користуватися лише терміном вектор; при цьому треба мати на увазі, що всюди, де спеціально не вказано положення початку, мова йде про вільний вектор. Вказуючи початок, т. Е. Вибираючи деякий певне зображення даного (вільного) вектора, ми будемо говорити, що відкладаємо цей вектор від даної точки або поєднуємо його початок з цією точкою і т. П.
Два колінеарних вектора (відмінні від нульових векторів), які мають рівні модулі, але протилежно спрямовані, називаються протилежними.
Вектор, протилежний вектору. позначається -. Для вектора протилежним буде вектор. Вектор називають протилежним вектору.
Визначення. Кажуть, що вільні вектори і рівні. якщо знайдуться точки Е і F такі, що чотирикутники ABFE і CDFE - паралелограми.
• Зауваження. «Хитрощі» у визначенні рівності стосується, перш за все, випадки, коли точки A, B, C, D розташовуються на одній прямій. В іншому випадку визначення виглядає простіше:
Визначення. Кажуть, що вільні вектори і. що не лежать на одній прямій, рівні, якщо чотирикутник ABDC - паралелограм.
Определеніе.Говорят, що ковзають вектори і рівні, якщо
• точки A, B, C, D розташовуються на одній прямій,
• вектори і рівні між собою як вільні вектори.
Неформально кажучи, що ковзає вектору дозволено рухатися вздовж його прямий без зміни величини і напрямки.
• Зауваження. Ковзаючі вектори особливо вживані в механіці. Найпростіший приклад ковзаючого вектора в механіці - сила. Перенесення такого початку вектора вздовж прямої, на якій він лежить, не змінює моменту сили ні щодо якої точки; перенос ж його на іншу пряму, навіть якщо не змінювати величини і напрямки вектора, може викликати зміну його моменту (скоріше навіть майже завжди викличе): тому не можна розглядати силу як вільний вектор.
Іншими словами, ми будемо вважати цілком тотожними (або еквівалентними) вектори, рівні між собою.
Треба, однак, зауважити, що в дуже багатьох питаннях чистої і прикладної математики доводиться розглядати вектори, положення початку яких грає істотну роль. На відміну від останніх вектори, тільки що охарактеризовані нами (т. Е. Такі, положення початку яких не має ніякого значення), називаються вають вільними.
З невільних векторів в математиці, механіці і фізиці розглядаються вектори ковзаючі і пов'язані.
Ковзаючі - це такі вектори, які вважаються тотожний-ними (еквівалентними), якщо вони не тільки рівні, але і распо-ложени на одній і тій же прямій. Прикладом змінного вектора може служити сила, прикладена до абсолютно твердого тіла. Дійсно, з механіки відомо, що дві сили, рівні і рас-покладені на одній прямій, еквівалентні в тому сенсі, що надають на тверде тіло однакове механічна дія.
Пов'язані - це такі вектори, які вважаються тождест-судинними, якщо вони не тільки рівні, але і мають однакові початку. Прикладом пов'язаного вектора може служити сила, прикладена до деякої точці нетвердого (наприклад, пружного) тіла.
Определеніе.Говорят, що фіксовані вектори і рівні, якщо попарно збігаються точки А і С, В і D.