Відношення R на множині Х називається рефлексивним, якщо про кожен елемент безлічі Х можна сказати, що він знаходиться у відношенні R з самим собою: хRх. Якщо відношення рефлексивно, то в кожній вершині графа є петля. І назад, граф, кожна вершина якого містить петлю, являє собою граф рефлексивного ставлення.
Прикладами рефлексивних відносин є і ставлення «кратно» на безлічі натуральних чисел (кожне число кратно самому собі), і відношення подібності трикутників (кожен трикутник подібний до самого себе), і ставлення «рівності» (кожне число дорівнює самому собі) і ін.
Існують відносини, що не володіють властивістю рефлексивності, наприклад, відношення перпендикулярності відрізків: a b, b a (немає жодного відрізка, про який можна сказати, що він перпендикулярний самому собі). Тому на графі даного відносини немає жодної петлі.
Не володіє властивістю рефлексивності і ставлення «довші» для відрізків, «більше на 2» для натуральних чисел та ін.
Відношення R на множині Х називається антирефлексивне. якщо для будь-якого елемента з безлічі Х завжди помилково хRх :.
Існують відносини, які не є ні рефлексивними, ні антирефлексивне. Прикладом такого ставлення може бути ставлення «точка х симетрична точці у відносно прямої l», заданий на множині точок площини. Дійсно, всі точки прямої l симетричні самі собі, а точки, що не лежать на прямій l, собі не симетричні.
Відношення R на множині Х називається симетричним, якщо виконується умова: з того, що елемент х знаходиться у відношенні з елементом y. випливає, що і елемент y знаходиться у відношенні R з елементом х: xRy yRx.
Граф симетричного відносини володіє наступною особливістю: разом з кожної стрілкою, що йде від х до y. граф містить стрілку, що йде від y до х (рис. 35).
Прикладами симетричних відносин можуть бути наступні: відношення «паралельності» відрізків, відношення «перпендикулярності» відрізків, відношення «рівності» відрізків, відношення подібності трикутників, ставлення «рівності» дробів та ін.
Існують відносини, які не володіють властивістю симетричності.
Дійсно, якщо відрізок х довше відрізка у. то відрізок у не може бути довшим відрізка х. Граф цього відносини має особливість: стрілка, що з'єднує вершини, спрямована тільки в одну сторону.
Відношення R називають антисиметричних. якщо для будь-яких елементів х і y з істинності xRy слід хибність yRx. xRy yRx.
Крім відносини «довші» на безлічі відрізків існують і інші антисиметричні відносини. Наприклад, ставлення «більше» для чисел (якщо х більше у. То у не може бути більше х), відношення «більше на» і ін.
Існують відносини, які не володіють ні властивістю симетричності, ні властивістю антисиметричність.
Відношення R на множині Х називають транзитивним, якщо з того, що елемент х знаходиться у відношенні R з елементом y, а елемент y знаходиться у відношенні R з елементом z. випливає, що елемент х знаходиться у відношенні R з елементом z. xRy і yRzxRz.
Граф транзитивного відносини з кожною парою стрілок, що йдуть від х до y і від y до z. містить стрілку, що йде від х до z.
Властивістю транзитивності володіє і ставлення «довші» на безлічі відрізків: якщо відрізок а довше відрізка b. відрізок b довше відрізка с. то відрізок а довше відрізка с. Ставлення «рівності» на безлічі відрізків також має властивість транзитивності: (а = b, b = с) (а = с).
Існують відносини, які не володіють властивістю транзитивності. Таким ставленням є, наприклад, відношення перпендикулярності: якщо відрізок а перпендикулярний відрізку b. а відрізок b перпендикулярний відрізку с. то відрізки а і з не перпендикулярні!
Існує ще одна властивість відносин, яке називається властивістю пов'язаності, а відношення, що володіє їм, називають пов'язаним.
Відношення R на множині Х називається зв'язаним, якщо для будь-яких елементів х і y з даної множини виконується умова: якщо х і y різні, то або х знаходиться у відношенні R з елементом y. або елемент y знаходиться у відношенні R з елементом х. За допомогою символів це визначення можна записати так: x yxRy або yRx.
Наприклад, властивістю пов'язаності володіє відношення «більше» для натуральних чисел: для будь-яких різних чисел х і y можна стверджувати, або x> y. або y> x.
На графі пов'язаного відносини будь-які дві вершини з'єднані стрілкою. Справедливо і зворотне твердження.
Існують відносини, які не володіють властивістю пов'язаності. Таким ставленням, наприклад, є ставлення подільності на множині натуральних чисел: можна назвати такі числа х і y. що ні число х не є дільником числа y. ні число y не є дільником числа х (числа 17 і 11. 3 і 10 і т.д.).
Розглянемо кілька прикладів. На безлічі Х = задано відношення «число х кратно числу y». Побудуємо граф даного відносини і сформулюємо його властивості.
Про ставлення рівності дробів кажуть, воно є відношенням еквівалентності.
Відношення R на множині Х називається відношенням еквівалентності, якщо воно одночасно має властивість рефлексивності, симетричності і транзитивності.
Прикладами відносин еквівалентності можуть служити: відносини рівності геометричних фігур, ставлення паралельності прямих (за умови, що збігаються прямі вважаються паралельними).
У розглянутому вище відносно «рівності дробів», безліч Х розбилося на три підмножини: <; ;>, <;>,<>. Ці підмножини не перетинаються, а їх об'єднання збігається з безліччю Х. тобто маємо розбиття множини на класи.
Отже, якщо на множині Х задано відношення еквівалентності, то воно породжує розбиття цієї множини на попарно непересічні підмножини - класи еквівалентності.
Так, ми встановили, що стосовно рівності на множині
Х =<; ; ; ; ;> відповідає розбиття цієї множини на класи еквівалентності, кожен з яких складається з рівних між собою дробів.
Принцип розбиття множини на класи за допомогою деякого відносини еквівалентності є важливим принципом математики. Чому?
По-перше, еквівалентний - це значить рівносильний, взаємозамінний. Тому елементи одного класу еквівалентності взаємозамінні. Так, дробу, що опинилися в одному класі еквівалентності <; ;>, невиразні з точки зору ставлення рівності, і дріб може бути замінена іншою, наприклад. І ця заміна не змінить результату обчислень.
По-друге, оскільки в класі еквівалентності виявляються елементи, невиразні з точки зору деякого відносини, то вважають, що клас еквівалентності визначається будь-яким своїм представником, тобто довільним елементом класу. Так, будь-який клас рівних дробів можна задати, вказавши будь-яку дріб, що належить цьому класу. Визначення класу еквівалентності по одному представнику дозволяє замість всіх елементів безлічі вивчати сукупність представників з класів еквівалентності. Наприклад, відношення еквівалентності «мати однакове число вершин», заданий на множині багатокутників, породжує розбиття цієї множини на класи трикутників, чотирикутників, п'ятикутників і т.д. властивості, притаманні певного класу, розглядаються на одному його представника.
По-третє, розбиття множини на класи за допомогою відношення еквівалентності використовується для введення нових понять. Наприклад, поняття «пучок прямих» можна визначити як те спільне, що мають паралельні прямі між собою.
Іншим важливим видом відносин є відносини порядку. Розглянемо задачу. На безлічі Х = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10> задано відношення «мати один і той же залишок при діленні на 3». Це ставлення породжує розбиття множини Х на класи: в один потраплять всі числа, при розподілі яких на 3 виходить в залишку 0 (це числа 3, 6,9). У другій - числа, при розподілі яких на 3 в залишку виходить 1 (це числа 4, 7, 10). У третій потраплять всі числа, при розподілі яких на 3 в залишку виходить 2 (це числа 5, 8). Дійсно, отримані множини не перетинаються і їх об'єднання збігається з безліччю Х. Отже, ставлення «мати один і той же залишок при діленні на 3», заданий на множині Х. є відношенням еквівалентності.
Візьмемо ще приклад: безліч учнів класу можна впорядкувати по зростанню або віком. Зауважимо, що це відношення має властивості антисиметричність і транзитивності. Або всім відомий порядок проходження букв в алфавіті. Його забезпечує відношення «слід».
Відношення R на множині Х називається відношенням строгого порядку. якщо воно одночасно має властивості антисиметричність і транзитивності. Наприклад, ставлення «х Якщо ж відношення має властивості рефлексивності, антисиметричність і транзитивності, то таке воно буде відношенням нестрогого порядку. Наприклад, ставлення «ХY». Прикладами відносини порядку можуть служити: ставлення «менше» на безлічі натуральних чисел, відношення «коротше» на безлічі відрізків. Якщо відношення порядку має ще й властивістю пов'язаності, то кажуть, що воно є відношенням лінійного порядку. Наприклад, ставлення «менше» на безлічі натуральних чисел. Безліч Х називається впорядкованим, якщо на ньому задано відношення порядку. Наприклад, безліч Х = 2, 8, 12, 32> можна впорядкувати за допомогою відносини «менше» (рис. 41), а можна це зробити за допомогою відносини «кратно» (рис. 42). Але, будучи відношенням порядку, відносини «менше» і «кратно» впорядковують безліч натуральних чисел по-різному. Ставлення «менше» дозволяє порівнювати два будь-яких числа з безлічі Х. а відношення «кратно» таким властивістю не володіє. Так, пара чисел 8 і 12 відношенням «кратно» не пов'язана: не можна сказати, що 8 кратно 12 або 12 кратно 8. Не слід думати, що всі відносини діляться на відносини еквівалентності і відносини порядку. Існує величезна кількість відносин, які не є ні відносинами еквівалентності, ні відносинами порядку.Схожі статті