Теорема 1. При транспонировании величина визначника не змінюється.
Слідство. Рядки і стовпці в визначнику рівноправні, тобто властивості, справедливі для рядків, будуть справедливі і для стовпців.
Теорема 2. Якщо всі елементи одного рядка визначника помножити на одне і те ж число, то і весь визначник множиться на це число.
Слідство. Постійний множник рядка можна виносити за знак визначника.
Теорема 3. Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки, то визначник змінить знак на протилежний.
Слідство 1. Визначник, у якого два рядки рівні, дорівнює нулю.
Наслідок 2. Якщо у визначнику два рядки пропорційні, то такий визначник дорівнює нулю.
Теорема 4. Якщо рядок визначника представлена у вигляді алгебраїчної суми декількох доданків, то визначник дорівнює сумі алгебри визначників, у яких в першому визначнику в цьому рядку стоїть перший доданок, у другому - другий доданок і т.д.
Слідство. Якщо рядки визначника лінійно залежні. то такий визначник дорівнює нулю.
Теорема 5. Якщо до елементів одного рядка визначника додати відповідні елементи іншого, помножені на одне і те ж число, то визначник не зміниться.
9) Мінори і алгебраїчні доповнення.
Нехай дана прямокутна матріцаА розміру.
Визначення 1. Мінором порядку k даної матриці, де k min (m; n), називається определітельk-го порядку. отриманий з матриці А викреслюванням (m-k) рядків і (n-k) стовпців.
Визначення 2. Додатковим мінор Mij до елементу aij квадратної матриці називається визначник (n -1) порядку, отриманий з матриці А викреслюванням цього елемента разом з рядком і стовпцем, в яких він розташований.
Визначення 3. Алгебраїчним доповненням Aij до елементу aij квадратної матриці називається чіслоAij =.
Теорема 1. Визначник дорівнює сумі попарних добутків елементів будь-якого рядка на їх алгебраїчні доповнення.
- розкладання визначника по i -му рядку.
Теорема 2. Сума попарних добутків елементів будь-якого рядка визначника на алгебраїчні доповнення до відповідних елементів іншого рядка дорівнює нулю.
Обчислення визначників порядку n> 3 зводиться до обчислення визначників другого і третього порядку за допомогою теореми 1 і властивості 5 визначника.
Перед розкладанням визначника для зручності отримують в одному з стовпців нулі. Це скорочує обсяги обчислень. Для цього використовує п'яте властивість визначника. Одну з рядків множать на деякі числа і складають з іншими рядками.
10) Зворотній матриця. Единственность.
Визначення 1. Квадратна матриця називається вироджених, якщо її визначник дорівнює нулю, і невироджених - в іншому випадку.
Визначення 2. Матриця А -1 називається оберненою до квадратної матриці А n -го порядку, якщо А · А -1 = А -1 · А = Е.
Теорема 1. Для будь-якої невиродженої квадратної матриці існує єдина обернена матриця.
Доведення. 1 частина (єдиність).
Припустимо, що зворотна матриця існує. Доведемо, що вона єдина. Припустимо гидке, тобто існує дві протилежні матриці: А -1 і.
Тоді А · А -1 = А -1 · А = Е і А · = · А = Е.
Помножимо його зліва на.