Знайдіть точку максимуму функції $ y = \ sqrt ^ >> $.
Для того щоб знайти точку максимуму функції, необхідно виконати наступні кроки:
- Знайти область визначення функції
- Знайти похідну даної функції
- Знайти підозрілі на екстремуми точки (ті точки, в яких похідна заданої функції дорівнює нулю або не існує)
- Відзначити знайдені точки на числовій прямій, визначити знаки похідної на одержані проміжках
- Зробити висновок про характер точок екстремуму, знайти необхідні точки
Знайдемо область визначення функції, знаючи, що подкоренное вираз має бути невід'ємним:
Вирішимо це нерівність методом інтервалів:
Відзначимо знайдені значення на малюнку і знайдемо рішення нерівності:
Значить функція визначена при $ x \ in \ left [1 \ sqrt; 1+ \ sqrt \ right] $.
Обчислимо похідну заданої функції. Ми бачимо, що сама функція являє собою складну функцію. Тому, для обчислення її похідної скористаємося правилом обчислення похідної від складної функції, а також від функції зі знаком квадратного кореня і елементарних функцій:
Область визначення похідної збігається з областю визначення функції $ y $, виключаючи точки, в яких знаменник дорівнює нулю. Т. е. Похідна визначена при $ x \ in \ left (1 \ sqrt1 + \ sqrt \ right) $
Тепер знайдемо точки, в яких похідна $ ^> = 0 $:
Бачимо, що ця точка потрапляє в область визначення функції і її похідної.
Так як знаменник позитивний, то похідна може змінювати знак тільки в точці $ x = 1 $ і інших підозрілих на екстремум точок немає, відзначимо це на малюнку:
при $ x <1$ производная $^>> 0 $, а значить, функція $ y $ зростає на цьому проміжку,
при $ x> 1 $ похідна $ ^> <0$, а значит, функция $y$убывает на этом промежутке,
Відомо, що точка максимуму функції - це точка з області визначення функції, при переході через яку її похідна змінює знак з + на -, а значить, точкою максимуму функції $ y = \ sqrt ^ >> $ є точка $ x = 1 $.