За умови. що подія вже відбулася. ймовірності гіпотез переоцінюються за формулами, які отримали прізвище англійського священика Томаса Байеса:
- ймовірність того, що мала місце гіпотеза;
- ймовірність того, що мала місце гіпотеза;
- ймовірність того, що мала місце гіпотеза;
...
- ймовірність того, що мала місце гіпотеза.
На перший погляд здається повною нісенітницею - навіщо перераховувати ймовірності гіпотез, якщо вони і так відомі? Але насправді різниця є:
- це апріорні (оцінені до випробування) ймовірності.
- це апостеріорні (оцінені після випробування) ймовірності тих же гіпотез, перелічені в зв'язку «з нововиявленими обставинами» - з урахуванням того факту, що подія достовірно сталося.
Розглянемо це відмінність на конкретному прикладі:
На склад надійшло 2 партії виробів: перша - 4000 штук, друга - 6000 штук. Середній відсоток нестандартних виробів в першій партії становить 20%, а в другій - 10%. Навмання взяте зі складу виріб виявилося стандартним. Знайти ймовірність того, що воно: а) з першої партії, б) з другої партії.
Перша частина рішення полягає у використанні формули повної ймовірності. Іншими словами, обчислення проводяться в припущенні, що випробування ще не вироблено і подія «виріб виявилося стандартним» поки не настав.
Розглянемо дві гіпотези:
- навмання взятий виріб буде з 1-й партії;
- навмання взятий виріб буде з 2-й партії.
Всього: 4000 +6000 = 10000 виробів на складі.
Розглянемо залежне подія: - навмання взяте зі складу виріб буде стандартним.
У першій партії 100% - 20% = 80% стандартних виробів, тому: - ймовірність того, що навмання взяте на складі виріб буде стандартним за умови. що воно належить 1-й партії.
Аналогічно, у другій партії 100% - 10% = 90% стандартних виробів і - ймовірність того, що навмання взяте на складі виріб буде стандартним за умови. що воно належить 2-й партії.
За формулою повної ймовірності:
- ймовірність того, що навмання взяте на складі виріб буде стандартним.
Частина друга. Нехай навмання взяте зі складу виріб виявилося стандартним. Ця фраза прямо прописана в умови, і вона констатує той факт, що подія відбулася.
а) - ймовірність того, що вбрання стандартний виріб належить 1-ої партії;
б) - ймовірність того, що вбрання стандартний виріб належить 2-ий партії.
Після переоцінки гіпотези, зрозуміло, як і раніше утворюють повну групу:
Зрозуміти сенс переоцінки гіпотез нам допоможе Іван Васильович, якій знову змінив професію і став директором заводу. Він знає, що сьогодні 1-й цех відвантажив на склад 4000, а 2-й цех - 6000 виробів, і приходить упевнитися в цьому. Припустимо, вся продукція однотипна і знаходиться в одному контейнері. Природно, Іван Васильович попередньо підрахував, що виріб, який він зараз витягне для перевірки, з ймовірністю буде випущено 1-м цехом і з ймовірністю - другим.
Але після того як обраний виріб виявляється стандартним, він вигукує: «Який же класний болт! - його швидше випустив 2-й цех ». Таким чином, ймовірність другої гіпотези переоцінюється в кращу сторону. а ймовірність першої гіпотези знижується:. І ця переоцінка небезпідставна - адже 2-й цех виробив не тільки більше виробів, але і працює в 2 рази краще!
Ви скажете, чистий суб'єктивізм? Частково - так, більш того, сам Байес інтерпретував апостеріорні ймовірності як рівень довіри. Однак не все так просто - в Байєсова підході є й об'єктивне зерно. Адже ймовірності того, що виріб буде стандартним (0,8 і 0,9 для 1-го і 2-го цехів відповідно) це попередні (апріорні) і середні оцінки. Але, висловлюючись по-філософськи - все тече, все змінюється, і ймовірності в тому числі. Цілком можливо, що на момент дослідження більш успішний 2-й цех підвищив відсоток випуску стандартних виробів (і / або 1-й цех знизив). і якщо перевірити більшу кількість або всі 10 тисяч виробів на складі, то переоцінені значення виявляться набагато ближче до істини.
На склад надійшло 2 партії виробів: перша - 4000 штук, друга - 6000 штук. Середній відсоток нестандартних виробів в першій партії 20%, у другій - 10%. Навмання взяте зі складу виріб виявилося не стандартним. Знайти ймовірність того, що воно: а) з першої партії, б) з другої партії.
Умова відрізняться двома буквами, які я виділив жирним шрифтом. Завдання можна вирішити з «чистого аркуша», або скористатися результатами попередніх обчислень. У зразку я провів повне рішення, але щоб не виникло формальної накладки з Завданням №5, подія «навмання взяте зі складу виріб буде нестандартним» позначено через.
Тобто, в очах вкладників відбувається постійне збільшення ймовірності того, що «це серйозна контора»; при цьому ймовірність протилежної гіпотези ( «це чергові кидали»). само собою, зменшується і зменшується. Подальше, думаю, зрозуміло. Примітно, що зароблена репутація дає організаторам час успішно сховатися від Івана Васильовича, який залишився не тільки без партії болтів, а й без штанів.
Електролампи виготовляються на трьох заводах. 1-ий завод виробляє 30% загальної кількості ламп, 2-й - 55%, а 3-й - решту. Продукція 1-го заводу містить 1% бракованих ламп, 2-го - 1,5%, 3-го - 2%. У магазин надходить продукція всіх трьох заводів. Куплена лампа виявилася з браком. Яка ймовірність того, що вона зроблена 2-м заводом?
Зауважте, що в задачах на формули Байеса в умови обов'язково фігурує якийсь подія, що відбулася, в даному випадку - покупка лампи.
Подій додалося, і рішення зручніше оформити в «швидкому» стилі.
Алгоритм точно такий же: на першому кроці знаходимо ймовірність того, що куплена лампа взагалі виявиться бракованою.
Користуючись вихідними даними, переводимо відсотки в ймовірності:
- ймовірності того, що лампа зроблена 1-м, 2-м і 3-м заводами відповідно.
контроль:
Аналогічно: - ймовірності виготовлення бракованої лампи для відповідних заводів.
За формулою повної ймовірності:
- ймовірність того, що куплена лампа виявиться з браком.
Крок другий. Нехай куплена лампа виявилася бракованою (подія відбулася).
- ймовірність того, що куплена бракована лампа виготовлена другим заводом.
Чому початкова ймовірність 2-й гіпотези після переоцінки збільшилася. Адже другий завод виробляє середні за якістю лампи (перший - краще, третій - гірше). Так чому ж зросла апостериорная ймовірність, що бракована лампа саме з 2-го заводу? Це пояснюється вже не «репутацією», а розміром. Так як завод №2 випустив найбільшу кількість ламп (більше половини), то логічний, щонайменше, суб'єктивний характер завищеної оцінки ( «швидше за все, ця бракована лампа саме звідти»).
Цікаво зауважити, що ймовірності 1-й і 3-й гіпотез, переоцінити в очікуваних напрямках і зрівнялися:
Контроль:. що і було потрібно перевірити.
До слова, про занижених і завищених оцінках:
У студентській групі 3 людини мають високий рівень підготовки, 19 осіб - середній і 3 - низький. Ймовірності успішного складання іспиту для даних студентів відповідно рівні: 0,95; 0,7 і 0,4. Відомо, що деякий студент здав іспит.
Яка ймовірність того, що:
а) він був підготовлений дуже добре;
б) був підготовлений середньо;
в) був підготовлений погано.
Проведіть обчислення і проаналізуйте результати переоцінки гіпотез.
Три цеху заводу виробляють однотипні деталі, які надходять на складання до загального контейнер. Відомо, що перший цех виробляє в 2 рази більше деталей, ніж другий цех, і в 4 рази більше третього цеху. У першому цеху шлюб становить 12%, у другому - 8%, в третьому - 4%. Для контролю з контейнера береться одна деталь. Яка ймовірність того, що вона виявиться бракованою? Яка ймовірність того, що витягнуту браковану деталь випустив 3-й цех?
Рішення. на відміну від Завдань №№5-8 тут в явному вигляді поставлено питання, який дозволяється за допомогою формули повної ймовірності. Але з іншого боку, умова трохи «зашифровано», і розгадати цей ребус нам допоможе шкільний навик складати найпростіші рівняння. За «ікс» зручно прийняти найменше значення:
Нехай - частка деталей, що випускається третім цехом.
За умовою, перший цех виробляє в 4 рази більше третього цеху, тому частка 1-го цеху становить.
Крім того, перший цех виробляє виробів в 2 рази більше, ніж другий цех, а значить, частка останнього:.
Складемо і вирішимо рівняння:
Таким чином: - ймовірності того, що витягнута з контейнера деталь випущена 1-м, 2-м і 3-м цехами відповідно.
Контроль:. Крім того, буде не зайвим ще раз подивитися на фразу «Відомо, що перший цех виробляє виробів в 2 рази більше другого цеху і в 4 рази більше третього цеху» і переконатися, що отримані значення ймовірностей дійсно відповідають цій умові.
За «ікс» спочатку можна було прийняти частку 1-го або частку 2-го цеху - ймовірності вийдёт такими ж. Але, так чи інакше, найважчу ділянку пройдений, і рішення входить в накатаній колії:
- ймовірності виготовлення бракованої деталі для відповідних цехів.
За формулою повної ймовірності:
- ймовірність того, що навмання витягнута з контейнера деталь виявиться нестандартною.
Питання друге: наскільки ймовірним є те, що витягнуту браковану деталь випустив 3-й цех? Дане питання передбачає, що деталь вже залучена, і вона виявилося бракованої. Переоцінюємо гіпотезу за формулою Байеса:
- шукана ймовірність.
Відповідь. - ймовірність того, що витягнута з контейнера деталь виявиться бракованою; - ймовірність того, що витягнуту браковану деталь випустив 3-й цех.
Рішення і відповіді:
Завдання 2: Рішення. розглянемо гіпотези. складаються в тому, що стрілок вибере 1-у, 2-у, 3-ю, 4-у і 5-у рушницю відповідно. Вибір будь-якої гвинтівки равновозможен, отже:.
Розглянемо подія - стрілок потрапить у мішень з навмання взятої гвинтівки.
За умовою:
За формулою повної ймовірності:
Завдання 4: Рішення. з умови находім- ймовірності того, що двигун працює на холостому ходу, в нормальному і форсованому режимах відповідно.
За умовою - ймовірності виходу з ладу двигуна для холостого, нормального і форсованого режиму відповідно.
За формулою повної ймовірності:
- навмання взятий виріб буде з 1-й партії;
- навмання взятий виріб належить 2-й партії.
Всього: 4000 +6000 = 10000 виробів на складі.
За класичним визначенням:
.
Розглянемо подія: - навмання взяте зі складу виріб буде нестандартним.
З умови знаходимо: - ймовірності того, що виріб з відповідних партій буде нестандартним.
За формулою повної ймовірності:
Примітка. дану ймовірність легко знайти, користуючись результатом Завдання 5:
Нехай собитіепроізошло (вилучено нестандартне виріб).
За формулами Байєса:
а) - ймовірність того, що вбрання нестандартне виріб належить 1-й партії;
б) - ймовірність того, що вбрання нестандартне виріб належить 2-й партії.
відповідь:
Завдання 8: Рішення: всього: 3 + 19 + 3 = 25 студентів в групі.
За класичним визначенням:
- ймовірності того, що іспитується студент має високий, середній і низький рівень підготовки відповідно.
контроль:
За умовою: - ймовірності успішного складання іспиту для студентів відповідних рівнів підготовки.
За формулою повної ймовірності:
- ймовірність того, що довільно обраний студент складе іспит.
Нехай студент здав іспит.
За формулами Байєса:
а) - ймовірність того, що студент, який здав іспит, був підготовлений дуже добре. Об'єктивна вихідна вероятностьоказивается завищеною, оскільки майже завжди деяким «середнячкам» везе з питаннями і вони відповідають дуже сильно, що викликає помилкове враження бездоганною підготовки.
б) - ймовірність того, що студент, який здав іспит, був підготовлений середньо. Вихідна вероятностьоказивается трохи завищеною, тому що студентів із середнім рівнем підготовки зазвичай більшість, крім того, сюди викладач віднесе невдало відповіли «відмінників», а зрідка і погано встигає студента, якому крупно повезло з квитком.
в) - ймовірність того, що студент, який здав іспит, був підготовлений погано. Вихідна вероятностьпереоценілась в гіршу сторону. Не дивно.
Перевірка:
відповідь: