ДІЙСНІ ЧИСЛА II
§ 38 Десяткова форма запису раціональних чисел
На практиці зазвичай користуються десяткової, формою записи раціональних чисел. Так, замість 1/2 пишуть 0,5; замість - 3/8 пишуть - 0,375; замість 5/4 пишуть 1,25 і т. д. Для простоти в подальшому ми будемо говорити лише про позитивні і правильних дробах, тобто дроби, укладених в інтервалі від 0 до 1.
Щоб отримати десяткову форму запису числа m / n. потрібно т «куточком» розділити на п. Як відомо з арифметики, в результаті такого поділу виходить або кінцева. або нескінченний періодичний десятковий дріб. Проілюструємо це на числах 5/16. 1/3 і 29/110.
5/16 = 0,3125 (кінцева десяткова дріб);
1/3 = 0,3333. (Нескінченний періодичний десятковий дріб з періодом 3);
29/110 = 0,26363. (Нескінченний періодичний десятковий дріб з періодом 63).
Період починається або відразу ж після коми (наприклад, 0,333.), Або після декількох десяткових знаків, що не входять в період (наприклад, 026363.). Відповідно до цього всі періодичні десяткові дроби поділяються на прості (такі, як 0,333.) І змішані (такі, як 0,26363.).
Період нескінченного десяткового дробу, яка виходить в результаті ділення цілих чисел «куточком», може бути будь-яким натуральним числом; виключається лише випадок, коли він складений з одних дев'яток. (На строгому доведенні цього факту ми зупинятися не будемо.) Відзначимо ще, що будь-яку кінцеву десяткову дріб можна розглядати як нескінченну періодичну дріб з періодом 0. Наприклад,
і т. д. Таким чином, будь-який раціональне число можна представити у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу, період якої відмінний від 9.
Верно.і зворотне твердження: будь-яка нескінченна періодична дріб з періодом, відмінним від 9, є раціональним числом.
Доказ цього твердження ми відкладемо до § 148. А поки напомнім.лішь відомі з арифметики правила поводження періодичних десяткових дробів в звичайні. Для простоти ми припустимо, що всі розглянуті нами десяткові дроби позитивні і менше одиниці.
Правило 1. Для звернення простий періодичної, дробу в звичайну потрібно поступити таким чином: в чисельнику поставити період десятинній дробу, а в знаменнику-число, що складається, з дев'яток, взятих стільки раз, скільки знаків у періоді дecятічной дробу.
Правило 2. Для звернення змішаної періодичного десяткового дробу в звичайну потрібно поступити таким чином: в чисельнику взяти число, що стоїть в десяткового дробу до другого періоду, мінус число, що стоїть в десяткового дробу до першого періоду; в знаменнику потрібно написати стільки дев'яток, скільки цифр в періоді, і приписати до них стільки нулів, скільки цифр у вихідній десяткового дробу від коми до першого періоду. наприклад,
Зауважимо, що нескінченним періодичним дробям з періодом 9 також можна надати певний сенс, якщо формально, використовуючи правила 1 і 2, представити їх у вигляді відносини двох цілих чисел. Наприклад, правило 1 дає
і т. д. Всі наведені тут нескінченні періодичні десяткові дроби з періодом 9 виявилися охоронними кінцевим десятковим дробям, які виходять з даних десяткових дробів, якщо десятковий знак, що стоїть перед першим періодом, збільшити на 1, а всі наступні десяткові знаки відкинути. Можна довести, що це відноситься не тільки до розглянутим, але і будь-яких інших періодичним десятковим дробям з періодом 9. Звідси випливає, що будь-яка кінцева десяткова дріб може бути представлена у вигляді нескінченного періодичного дробу двома різними способами: з періодом 0 і з періодом 9 . Наприклад,
0,37 = 0,370000. = 0,369999. ;
0,6 = 0,600000. = 0,599999.
Ця обставина ускладнює виклад теорії нескінченних періодичних десяткових дробів. Ось чому в подальшому ми домовимося зовсім не говорити про періодичні десяткових дробах з періодом 9, кожен раз замінюючи їх відповідними періодичними дробами з періодом 0.
Отже, раціональні числа (і тільки вони) представимо у вигляді нескінченних періодичних десяткових дробів. А чи існують нескінченні неперіодичні десяткові дроби? Питання це вирішується позитивно. Щоб переконатися в цьому, досить навести хоча б один приклад нескінченної неперіодичної десяткового дробу. Такий приклад дає, зокрема, дріб
(Після коми виписуються поспіль числа 10, 100, 1000, 10000 і т. Д.). Спробуйте довести, що зазначена десяткова дріб дійсно є неперіодичної!
У наступних параграфах будуть розглянуті конкретні завдання, які призводять нас до нескінченних неперіодичних десятковим дробям.
300. Записати у вигляді нескінченних десяткових дробів:
301 *. Дані періодичні десяткові дроби звернути в звичайні:
а) 0,444444. ; в) 4,636363. ; д) - 2,001777. ;
б) 10,521521. ; г) 0,573636 ..- .; е) 7,090909.
302. Відомо, що нескоротний дріб m / n представимо у вигляді кінцевої десяткового дробу. На які числа може ділитися без залишку число п?
303 *. Чому при розподілі цілих чисел «куточком» виходять завжди періодичні дроби?
304 *. Довести, що дріб
яка виходить, якщо після нуля виписати підряд всі натуральні числа, не є періодичною.