Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Рівняння швидкості vx (t) отримаємо, диференціюючи рівняння зміщення x (t) = Х cos (wt - j) за часом:
де V = = wX - амплітуда швидкості. Швидкість vx (t) = wX і змушує сила Fx (t) = F0 coswt зрушені по фазі по відношенню один до одного на кут a. Фаза a може набувати значень від () до (+) радіан. За умови фаза a = 0. У цьому випадку частота змушує сили w дорівнює власній частоті w0. і між швидкістю і змушує сили відсутній зсув фаз. При a = 0 механічний імпеданс набуває мінімального значення і дорівнює лише його активної частини:
На рис. 18 наведено графік залежності різниці фаз між швидкістю і змушує силою. Так як при механічний імпеданс r мінімальний, то в цьому випадку амплітудне значення швидкості набуває максимальне значення з усіх можливих, тобто спостерігається резонанс швидкості. Резонансне значення швидкості
На ріс.19пріведен графік залежності амплітуди швидкості зсуву V від частоти змушує сили w - графік функції
З виразу для амплітуди швидкості V = слід феноменологічний зміст механічного імпедансу: механічний імпеданс Z = - це сила, яка необхідна для повідомлення коливальній системі одиничної амплітудної швидкості.
На векторній діаграмі член Х cos (wt - j) направимо по променю відліку (рис. 20). Цьому члену на діаграмі відповідає вектор, модуль якого дорівнює Х. Тоді векторна діаграма члена 2bwX буде повернута проти годинникової стрілки на радіан. Цьому члену на діаграмі
відповідає вектор, модуль якого дорівнює 2bwX. Векторна діаграма члена w 2 X cos (wt - j + p) буде повернена на p радіан. Цьому члену відповідає вектор, модуль якого дорівнює w 2 X. Модуль результуючого вектора дорівнює і повернуть щодо вектора зміщення на кут j. Залежно від співвідношень між w 2 X і Х кут j може набувати значень від 0 до p (рис. 1-20 а, б). З діаграми випливає вираз для тангенса різниці фаз j: tg j =.
1.1.8. Стійкість амплітуди вимушених коливань
У сталому режимі робота змушує сили повинна компенсувати роботу сили опору: протягом періоду Т = робота сили опору Fсопр. = Mvx повинна бути дорівнює роботі сили, що вимушує Fx = F0 cos wt.
Обчислимо роботу через потужність сили: dA = N dt = Fvx dt. Визначимо роботу сили, що вимушує АВ за період Т:
Робота AB йде на збільшення енергії осцилятора. Таким чином, за період T енергія осцилятора збільшується на величину
Робота сили опору Асопр. за період коливань дорівнює:
Надходить в осцилятор енергія йде на роботу проти сил опору. У сталому режимі AB = Асопр .. Цій умові і повинна задовольняти амплітуда сталих вимушених коливань. З огляду на умову AB = Асопр .. отримаємо вираз для амплітуди усталених вимушених коливань у вигляді:
Внаслідок того, що амплітуда неотрицательная величина, то cosa = в (17) береться по модулю. Крім того, отримаємо, що X =. що, зрозуміло, збігається з раніше отриманим виразом для амплітуди зміщення.
На рис. 21 наведені два графіка: графік роботи змушує сили AB (Х) при деякому значенні a і графік роботи сили опору Асопр (Х). Робота змушує сили пропорційна амплітуді зміщення Х. а робота сили опору пропорційна квадрату амплітуди X 2. Отже, графіки AB (Х) і Асопр. (Х) перетинаються. Точка перетину графіків відповідає сталому режиму вимушених коливань, тобто умові AB = Асопр. .
Встановлена амплітуда вимушених коливань має стійкість. Дійсно, припустимо, з якої-небудь причини амплітуда зменшилася до значення Х1. У цьому випадку робота змушує сили, яка відображена на графіку точкою 1, перевершує роботу сили опору, яка відображена точкою 1 *. Це призводить до збільшення амплітуди до початкового сталого значення Х. Якщо амплітуда випадковим чином збільшується до Х2. то робота сили опору (точка 2 *) стає більше роботи змушує сили (точка 2), що призводить до зменшення амплітуди до стійкого значення Х.
Первісна енергія, що міститься в осцилляторе, витрачається на роботу проти сил опору, що і призводить до загасання коливань у відсутності зовнішньої змушує сили. У зв'язку з цим добротність Q можна розглядати як характеристику швидкості зменшення енергії осцилятора при згасаючих коливаннях.
При затухаючих коливаннях x (t) = A cos (w / t + a) амплітуда зменшується згідно із законом A = A. Тут A - початкова амплітуда осцилятора, a - початкова фаза, w / = = - частота затухаючих коливань і 2b =. Енергія осцилятора E пропорційна квадрату амплітуди A 2:
З (18) видно, що за час t = = енергія осцилятора стає рівною. тобто зменшується в e ≈ 2,7 раз. За час t = = осцилятор зробить коливань, і фаза зміниться на величину w / t = w / радіан. Добротність визначається як число радіан, на яке змінюється фаза згасаючих коливань при зменшенні енергії осцилятора в e ≈ 2,7 разів:
У звичайних коливальних системах коефіцієнт загасання багато менше власної частоти системи w0 >> b. тому можна приблизно вважати, що w / ≈ w0 =.
У цьому наближенні добротність набуде вигляду:
де t - час релаксації, за яке осцилятор встигає зробити Ne коливань. Добротність є однією з важливих власних характеристик коливальної системи.
Покажемо, що з (19) випливає формула: Q = p Ne. Якщо в деякий момент часу зміщення приймає, наприклад, амплітудне значення, то при зміні фази коливання на 2p радіан, зміщення знову приймає амплітудне значення. Ставлення =. але w0 = і = 2b =. тому =. За час релаксації t осцилятор здійснює Ne коливань, тобто Ne =. де T - період коливань, отже: = або
1.1.10. Добротність і резонансна крива поглинання
Як видно з формули (19), добротність визначається власною частотою w0 і активною складовою імпедансу m (опором середовища). Отримаємо ще один вислів для добротності осцилятора, безпосередньо пов'язане із залежністю поглинання енергії осциллятором від частоти змушує сили.
Попередньо визначимо енергію, передану змушує силою осцилятора, за одиницю часу. За період осцилятор отримує енергію, яка визначається виразом (15 *), див. § 1.1.8. За одиницю часу енергія, передана осцилятора (потужність P. передана осцилятора), дорівнює P = = = =. (20)
тому w = і cosa = = (див. рис. 13 і 14). Імпеданс мінімальний за умови (тобто при = w0). При цьому умови Z = m і осцилятора передається максимальна потужність. При w = w0 спостерігається резонансне поглинання енергії. Резонансна потужність поглинання набуває вигляду:
Нагадаємо, за умови w = w0 спостерігаємо резонанс швидкості (див § 1.1.7, рис. 1-19). Таким чином, при максимальній швидкості осцилятора (при резонансі швидкості) спостерігається максимальне поглинання енергії (резонанс потужності поглинання), що передається осцилятора зовнішньої змушує силою. На рис. 22 приведена крива залежності потужності поглинання від частоти змушує сили, яка визначається формулою (20). На малюнку частоти w1 і w2 відповідають потужності поглинання, яка дорівнює половині резонансної потужності.
Покажемо, що добротність осцилятора можна виразити відношенням: Q =. Попутно зауважимо, різниця частот (w2 -w1) визначає гостроту резонансної кривої по потужності (або, як кажуть, гостроту резонансного максимуму).
Частоти w1 і w2 знаходимо з умови = =. Звідси випливає, що при частотах w1 і w2 маємо рівність: Z 2 = 2m 2. З рівності = 2m 2 отримаємо: = ± m або
Виключивши з цих рівнянь жорсткість k. отримаємо: w2 -w1 =.
Підставами значення різниці частот в формулу добротності (19):
Різниця частот (w2 -w1) називають частотної шириною поглинання.
Отже, за гостротою резонансної кривої поглинання можна судити про добротності коливальної системи. чим гостріше резонанс, тобто чим менше частотна ширина поглинання (w2 -w1), тим добротнее осцилятор. Наприклад, добротність кварцового резонатора, що використовується в прецизійних генераторах радіочастотного діапазону, досягає значень
10 6. У таких резонаторів при n0 = 1МГц ширина частоти поглинання
При частотах змушує сили w1 і w2 осцилятор поглинає в одиницю часу енергію, рівну половині резонансної потужності поглинання при w0. Визначимо значення амплітуди швидкості на частотах w1 і w2 і порівняємо їх з резонансною амплітудою швидкістю Vp. .
Амплітуда швидкості визначається виразом V = = wX. а резонансна швидкість Vр. = =. Так як = + m і = -m. то при частотах w1 і w2 імпеданс має вигляд: Z = = m. Звідси випливає, що при частотах w1 і w2 амплітудне значення швидкості:
Величина ≈ 0,707. Інтервал (w2 -w1) на рівні 0,7 називають ще частотної шириною пропускання коливальної системи за швидкістю (рис. 23). Саме в інтервалі цих частот змушує сили коливальна система відповідає на зовнішній вплив помітною швидкістю. Якщо частота w змушує сили F = F0 cos wt виявиться далеко від інтервалу частот (w2 -w1), то коливальна система практично не реагує на таке зовнішній вплив.