Парна функція. Непарна функція.
§2 Періодичність функцій
Як правило, вивчення цієї властивості функції рекомендується здійснювати при розгляді тригонометричних функцій. Підвести учнів до властивості періодичності функцій можна, використовуючи метод доцільних задач.
1. Використовуючи одиничну окружність, доведіть тотожності (# 945; Î R):
3. Чи існує таке число # 945 ;, при якому виконується рівність
Учні підводяться до висновку: числа виду 2πk (k Î Z) - особливі для функції синус. Їм повідомляється, що ці числа називаються періодами функції, а сама функція періодичною.
Потім вводиться визначення: «Функція у = f (x) називається періодичною й, якщо існує таке число Т ¹ 0, що при будь-якому х з області визначення функції числа х - Т і х + Т також належать цій області і виконується рівність f (х - Т) = f (x) = f (х + Т) ». У цьому випадку число Т називається періодом функції.
Приклад. Функція f (x) = є періодичною.
D (f) = R. При будь-якому x Î R (числа (x + 2π) Î R і (x - 2π) Î R) Сума і різниця двох дійсних чисел - дійсні числа. Числах x,
відповідає одна і та ж точка одиничному колі, а значить, і одна і та ж ордината - значення синуса, тому
Легко довести, що функція має нескінченну безліч періодів виду 2πk, де k Î Z. числа 4π, 6π, 8π. -4π, -6π, -8π. - періоди функції.
Число 2π є найменшим позитивним періодом функції синус.
Отже, якщо Т - період функції, то kT, де k Î Z, - також період функції. Отже, будь-яка періодична функція має нескінченну безліч періодів. на практиці зазвичай розглядають найменший позитивний період. Його іноді позначають Т0.
Властивості періодичних функцій.
1. Область визначення періодичної функції симетрична відносно початку координат.
2. Для періодичної функції справедливо рівність. де Т0 - період функції, до Î Z.
3. Якщо Т0 - період функції. то будь-яка з чисел kT0. де також період цієї функції.
4. Якщо функція періодична з періодом Т0. то функція також періодична з періодом (при а ¹ 0).
5. Якщо функція періодична з періодом Т0. то функції виду є періодичними з тим же періодом.
6. Сума, різниця, добуток і частку періодичних функцій з однаковим періодом є періодичними функціями з тим же періодом.
7. Сума періодичних функцій з різними періодами є періодичною функцією тільки тоді, коли їх періоди співмірні.
8. Якщо має період Т і диференційована, то - періодична функція з тим же періодом.