Поняття критерію оптимальності
Формулювання критеріїв економічних систем є необхідною передумовою оптимізації планових рішень. У загальному випадку під критерієм оптимальності розуміється ознака, на підставі якого проводиться оцінка, порівняння альтернатив, класифікація об'єктів і явищ. Критерій оптимальності функціонування економічної системи - це один з можливих критеріїв (ознак) її якості, а саме ту ознаку, за яким функціонування системи визнається найкращим з можливих варіантів її функціонування. У сфері прийняття економічних рішень критерій оптимальності - це показник, що виражає граничну міру економічного ефекту прийнятого господарського рішення для порівняльної оцінки можливих рішень вибору найкращого з них. Найбільш часто використовується максимум прибутку або мінімум витрат.
Критерій оптимальності зазвичай носить кількісний характер і показує, наскільки один з варіантів краще гірше іншого. Порядковий критерій визначає лише те, що один варіант краще або гірше іншого. Математичної формою критерію оптимальності в економіко-математичних моделях є цільова функція, екстремальне значення якої характеризує гранично допустиму ефективність діяльності об'єкта, що моделюється.
Якщо за класифікують ознака взяти математичну формулювання, то критерії поділяються на скалярні і векторні, адитивні і мультиплікативні, інтегральні критерії в тимчасовому аспекті і інтегральні в просторовому аспекті та ін.
Можлива класифікація моделей з тимчасового аспекту, по способам формування критеріїв, за типом застосовуваних вимірників, за способами використання критеріїв.
Сутність глобального і локального критеріїв оптимальності.
Поділ критеріїв на глобальний і локальний може бути віднесено до будь-якої ієрархічно побудованій системі моделей, наприклад моделі галузі або підприємства.
Глобальному критерію може бути дана словесна формулювання, а для вирішення практичних завдань планування і управління таке формулювання деталізується і представляється у вигляді сукупності більш конкретних локальних критеріїв. Математично глобальний критерій прийнято формулювати у вигляді скалярної цільової функції, яка узагальнено виражає все різноманіття цілей або у вигляді векторної функції, що представляє собою набір несвідомих один до одного приватних цільових функцій.
Більшість багаторівневих систем мають два рівні: верхній і нижній. Система моделей виробничої програми підприємства включає в себе моделі розрахунку загальнозаводських показників і показників окремих цехів. При формуванні узагальнених критеріїв повинні враховуватися і місцеві (приватні інтереси), а локальні критерії - підпорядковані узагальненому.
Складність системи цілей пояснюється різноманіттям завдань суспільного розвитку і розвитку систем, а також тим, наскільки великі і інтенсивні зовнішні зв'язки даної системи.
Система критеріїв галузевої системи включає задоволення суспільних потреб виробленої продукції, економію ресурсів, впровадження досягнень науково-технічного прогресу, забезпечення надійності виконання планових завдань. Зовнішні зв'язки галузевих систем, а значить, і комплекси їх цілей, ускладнюються фактором часу, просторовою організацією, поєднанням різних підходів і аспектів планування.
Множинність цілей розвитку систем істотно ускладнює планування, особливо, якщо цілі різноспрямовані, і наближення до одним цілям видаляє систему від досягнення інших. Таким чином виникає задача їх узгодження. Відшукання найкращих рішень за кількома критеріями називається багатокритеріальної або векторної оптимізацією.
Математичне формулювання завдання векторної оптимізації:
Нехай X = x 1, ..., x N (j = 1, N) - вектор змінних, зазвичай передбачається неотрицательность вектора змінних X 0, функціональна взаємозв'язок змінних встановлюється певними співвідношеннями, на які накладаються обмеження:
gi (X) bi (i = 1, M).
Функціонування системи оцінюється певними критеріями, записуваними у вигляді цільових функцій fr (X) (r = 1, K). Безліч критеріїв можна представити у вигляді векторної цільової функції
F (X) = f 1 (X), ...> fr (X) .
Щоб мінімізувати приватний критерій fr (X), досить максимізувати - fr (X), так як min fr (X) = - max (- fr (X)). Тому в подальшому передбачається, що кожна компонента векторного критерію максимизируется. Завдання багатоцільової оптимізації записується як векторна задача математичного програмування (ВЗМП)
F (X) = f1 (X), ...> fr (X) (max),
gi (X) bi (i = 1, M),
Будемо розглядати ВЗМП для випадку, коли точки оптимуму X * r (r = 1, K), отримані при вирішенні задачі по кожному критерію fr (r = 1, K) не збігаються (випадок їх збігу зустрічається вкрай рідко і таке завдання не представляє інтересу ). Тому з математичної точки зору завдання є некоректною, оскільки якщо один з критеріїв досягає свого оптимуму, то поліпшення на інші компоненти векторного критерію неможливо. Звідси випливає, що рішенням ВЗМП може бути тільки якесь компромісне рішення.
Особливістю завдань векторної оптимізації є наявність в області допустимих значень області компромісів, в якій неможливо одночасне поліпшення всіх критеріїв. Належні області компромісів плани називають ефективними, або оптимальними по Парето (по імені італійського економіста, вперше сформулював проблему векторної оптимізації і принцип оптимальності рішення).
Поняття перевагу плану. План X не гірше плану X `, якщо
fr (X ) fr (X `) (r = 1, K). Якщо серед цих нерівностей хоча б одне суворе, то план X краще (краще) X `, тобто. при переході від X до X `значення жодного критерію не погіршився і хоча б одного критерію покращився. План X оптимальний по Парето (ефективний), якщо він допустимо і не існує іншого плану X `, для якого fr (X ) fr (X`) (r = 1, K), і хоча б для одного критерію виконується суворе нерівність.
До загальної формулюванні багатокритеріальної задачі можуть зводитися завдання різного змісту, які можна поділити на чотири типи.
Завдання оптимізації на множині цілей, кожна з яких повинна бути врахована при виборі оптимального рішення. Прикладом може служити завдання складання плану роботи підприємства, в якій критеріями служить ряд економічних показників.
Завдання оптимізації на множині об'єктів, якість функціонування кожного з яких оцінюється самостійним критерієм. Якщо якість функціонування кожного об'єкта оцінюється декількома критеріями (векторних критерієм), то таке завдання називається багатовекторною. Прикладом може служити завдання розподілу дефіцитного ресурсу між декількома підприємствами. Для кожного підприємства критерієм оптимальності є ступінь задоволення його потреб в ресурсі або інший показник, наприклад, величина прибутку. Для плануючого органу критерієм виступає вектор локальних критеріїв підприємств.
Завдання оптимізації на множині умов функціонування. Заданий спектр умов, в яких доведеться працювати об'єкту, і стосовно кожного умові якість функціонування оцінюється деяким приватним критерієм.
Завдання оптимізації на безлічі етапів функціонування. Розглядається функціонування об'єктів на деякому інтервалі часу, розбитому на кілька етапів. Якість управління на кожному етапі оцінюється приватним критерієм, а на безлічі етапів - загальним векторних критерієм. Прикладом може служити розподіл квартального плану цеху по декадах. У кожній декаді необхідно забезпечити максимальне завантаження. В результаті вийде критерій максимізації завантаження в кожної декаді кварталу.
Багатокритеріальні задачі можна також класифікувати за іншими ознаками: за варіантами оптимізації, по числу критеріїв, за типами критеріїв, за співвідношенням між критеріями, за рівнем структуризації, наявності фактора невизначеності.
При розробці методів рішення векторних задач доводиться вирішувати ряд специфічних проблем.
Проблема нормалізації виникає в зв'язку з тим, що локальні критерії мають, як правило, різні одиниці і масштаби виміру, і це унеможливлює їх безпосереднє порівняння. Операція приведення критеріїв до єдиного масштабу і безрозмірного вигляду носить назву нормування. Найбільш поширеними способами нормування є заміна абсолютних значень критеріїв їх безрозмірними відносними величинами
або відносними значеннями відхилень від оптимальних значень критеріїв f * r
Проблема вибору принципу оптимальності пов'язана з визначенням властивостей оптимального рішення і вирішенням питання - в якому сенсі оптимальне рішення вигідно відрізняється від інших.
Проблема врахування пріоритету критеріїв встає, якщо локальні критерії мають різну значимість. Необхідно знайти математичне визначення пріоритету і ступінь його впливу на рішення задачі.
Проблема обчислення оптимуму виникає, якщо традиційні обчислювальні схеми та алгоритми непридатні для вирішення завдань векторної оптимізації.
Рішення перерахованих проблем йде в декількох напрямках. Основні напрямки:
Методи, засновані на згортання критеріїв в єдиний;
Методи, які використовують обмеження на критерії;
Методи цільового програмування;
Методи, засновані на знаходженні компромісного рішення;
Методи, в основі яких лежать людино-машинні процедури прийняття рішень (інтерактивне програмування).
У методах, заснованих на згортання критеріїв, з локальних критеріїв формується один. Найбільш поширеним є метод лінійної комбінації приватних критеріїв. Нехай заданий вектор вагових коефіцієнтів критеріїв = 1, ..., r, що характеризують важливість відповідного критерію, r = 1, r 0 (r = 1, K). Лінійна скалярізованная функція являє собою суму приватних критеріїв, помножених на вагові коефіцієнти. Завдання математичного програмування стає однокритерійним і має вигляд
F = rfr (X) (max),
qi (X) bi (I = 1, M),
Критерії в пакунку можуть бути унормовані. Рішення, отримане в результаті оптимізації скалярізованного критерію ефективно.
До недоліків методу можна віднести те, що малим приращениям коефіцієнтів відповідають великі приросту функції, тобто рішення задачі нестійкий, а також необхідність визначення вагових коефіцієнтів.
Напрямок методів, які використовують обмеження на критерії включає два підходи:
метод ведучого критерію;
методи послідовного застосування критеріїв (метод послідовних поступок, метод обмежень).
У методі провідного критерію все цільові функції крім однієї переводяться в розряд обмежень. Нехай = ( 2, 3, ..., к-1) - вектор, компоненти якого є нижні межі відповідних критеріїв. Завдання матиме вигляд
qi (X) bi (I = 1, M),
Отримане цим методом рішення може не бути ефективним, тому необхідно перевірити його приналежність області компромісів.
Метод провідного критерію застосовується в таких завданнях, як мінімізація повних витрат за умови виконання плану по виробництву різних видів продукції, максимізація випуску комплектних наборів при обмеженні на споживані ресурси.
Алгоритм методу послідовних поступок:
Критерії нумеруються в порядку убування важливості.
Визначається значення f * 1. Особою, яка приймає рішення, встановлюється величина поступки 1 за цим критерієм.
Вирішується задача за критерієм f 2 з додатковим обмеженням f 1 (X) f * 1 - 1.
Далі пункти 2 і 3 повторюються для критерію f 2, ..., fk.
Отримане рішення не завжди належить області компромісів.
При вирішенні завдань методами цільового програмування передбачається наближення значення кожного критерію до певної величиною fr. тобто досягнення певної мети. У найзагальнішому вигляді завдання цільового програмування формулюється як задача мінімізації сум відхилень цільових функцій від цільових значень з нормованими вагами.
де F = f 1. f R - вектор цільових значень,
(R = 1, K), значення p знаходяться в межах 1 p ,
d (.) - відстань (міра відхилення) між F (X) і F.
У багатьох випадках застосування цільового програмування вважають p = 1. Наприклад, в лінійному цільовому програмуванні функції f R (X) (r = 1, K) і q i (X) (i = 1, M) лінійні і немає цілочисельних змінних.
У завданнях лексикографічного програмування критерії строго впорядковані за важливістю, так що при порівнянні пари рішень в першу чергу використовується критерій f 1 і кращим вважається те рішення, для якого значення цього критерію більше, якщо значення першого критерію для обох рішень виявляються рівними, то застосовується критерій f 2 і перевага віддається тому рішенню, для якого значення f 2 більше, їли і другий критерій не дозволяє визначити найкраще рішення, то залучається f 3 і т.д. Облік інформації про важливість критеріїв здійснюється шляхом поетапного вирішення завдання мінімізації відхилень критеріїв від цільових значень. Часто в лексикографічному програмуванні F = F. p = 1.
Точка F зазвичай не належить області допустимих значень і тому її іноді називають ідеальною або утопічною точкою. У деяких методах цільового програмування допускається завдання утопічного безлічі, як приклад при побудові архимедовой завдання.
Схожі роботи:
Економіко -математіческіеметоди і прікладниемоделі (2)
Контрольна робота >> Економіко-математичне моделювання
-статистичний Контрольна робота з дисципліни «Економіко -математіческіеметоди і прікладниемоделі» Варіант № 5 Виконавець: Спеціальність: БУАіА Група.
Контрольна робота по Економіко -математіческіеметоди і прікладниемоделі
Контрольна робота >> Математика
Практична робота по Економіко - математіческомуметоду і прікладниемоделі
по Економіко -математіческіммоделям
Контрольна робота >> Математика
ЕММ Контрольна робота з дисципліни «Економіко -математіческіммоделям» Варіант № 1 Виконавець: Спеціальність: Бухгалтерський облік.
Економікоматематіческіеметоди і моделі (1)
Лекція >> Економіко-математичне моделювання