Найпростіший вид матриці лин ?? ейного оператора.
Матриці A і B називаються еквівалентними, в разі якщо знайдуться невироджені матриці Q і T. що A = QBT.
Теорема 6.1. У разі якщо матриці еквівалентні, то їх ранги рівні.
Доведення. Оскільки ранг твору не перевищує ранги співмножником ?? їй, то. Так як, то. Об'єднуючи два нерівності, отримуємо необхідну твердження.
Теорема 6.2. Елементарними перетвореннями з рядками і стовпцями матрицю A можна привести до блокового увазі, де - одинична матриця порядку k. а 0 - нульова матриця відповідних розмірів.
Доведення. Наведемо алгоритм приведення матриці A до зазначеного виду. Номери стовпців будуть вказуватися в квадратних дужках, а номери рядків - в круглих дужках.
2. У разі якщо то перейдемо на крок 4, інакше перейдемо на крок 3.
3. Зробимо перетворення з рядками, де i = r + 1, ..., m. і за допомогою стовпців, де j = r + 1, ..., n. і. Збільшимо r на 1 і повернемося на крок 2.
4. У разі якщо, при i = r + 1, ..., m. j = r + 1, ..., n. то кінець. В іншому випадку знайдемо i, j> r. що. Переставимо рядки і стовпці, повернемося на крок 2.
Очевидно, що алгоритмом буде будуватися послідовність еквівалентних матриць, остання з яких має необхідний вид.
Теорема 6.3. Матриці A і B однакових розмірів еквівалентні тоді і тільки тоді, коли їх ранги рівні.
Доведення. У разі якщо матриці еквівалентні, то їх ранги рівні (Теорема 6.1). Нехай ранги матриць рівні. Тоді знайдуться невироджені матриці, що, де r = rgA = rgB (Теорема 6.2). Отже,, і матриці A і B - еквівалентні.
Результати даного пункту дозволяють знаходити найпростіший вид матриці лин ?? ейного оператора і базиси просторів, в яких матриця лин ?? ейного оператора має даний найпростіший вид.