У практичній діяльності досить часто виникають ситуації, коли один потік платежів замінюється іншим потоком або одним платежем. При цьому дотримується незмінність фінансових відносин сторін до і після укладення контракту або, як кажуть, фінансова еквівалентність зобов'язань. Розрахунок платежів в цьому випадку базується на рівнянні еквівалентності.
Рівнянням еквівалентності є рівність сум замінних і замінюють платежів, приведених до одного моменту часу.
Принцип фінансової еквівалентності зобов'язань дозволяє, зокрема, порівнювати два окремих платежу, що виплачуються в різні моменти часу. При цьому використовуються прості відсотки, якщо терміни платежів менше року, і складні відсотки - якщо терміни більше року.
Нехай є два платежу S \ і з термінами відповідно «| і «2 При оцінці цих платежів порівнюються їх сучасні вартості, і той платіж вважається великим, у якого більше його сучасна вартість. Іноді виникає необхідність у визначенні критичної ставки iKp, при якій два розглянутих платежу виявляються рівними. Розглянемо два варіанти.
Для простих відсотків критична ставка знаходиться з рівняння еквівалентності, одержуваного шляхом прирівнювання сучасних вартостей першого і другого платежів:
1 + І. XI, I + n, Х1 ,. "
Вирішуючи це рівняння щодо iKp, знайдемо:
Приклад 3.1.19. Перший платіж, що дорівнює 900 руб. повинен бути виплачений через 30 днів, а другий, що дорівнює 920 руб. виплачується через 270 днів. Порівняти ці платежі при простій процентній ставці 15% річних і при базі К = 360.
Рішення. Сучасна вартість першого платежу:
1 + 1 + 30 / 360x0,15 Сучасна вартість другого платежу:
При заданій ставці перший платіж перевищує другий.
Приклад 3.1.20. Перший платіж, що дорівнює 900 руб. повинен бути виплачений через 30 днів, а другий, що дорівнює 920 руб. виплачується через 270 днів. Визначити критичну ставку при базі К = 360.
Рішення. Критична ставка, при якій платежі еквівалентні, визначається за формулою (3.1.50):
S, хп2-S2xn, 900x270 / 360-920x30 / 360
Для складних відсотків рівняння еквівалентності має
Вирішуючи це рівняння щодо АСР, знайдемо:
Приклад 3.1.21. Перший платіж, що дорівнює 9 тис. Руб. повинен бути виплачений через два роки, а другий, що дорівнює 12 тис. руб. виплачується через п'ять років. Порівняти ці платежі при складній процентній ставці 15% річних.
Рішення. Сучасна вартість першого платежу:
Сучасна вартість другого платежу:
При заданій ставці перший платіж перевищує другий.
Рішення. Критична ставка, при якій платежі еквівалентні, визначається за формулою (3.1.51):
^ = ^ 1 -1 = (12/9) "" "1 '-1 = 0,1006. Або 10,06% -Si
Нехай ми маємо серію платежів в розмірах S [, S2, S $, SM з відповідними термінами щ, п'з. пунктів. Замінюємо цю серію платежів на один платіж в розмірі SQ СО терміном сплати ло Величина 5Ь невідома, але ми знаємо термін консолідованого платежу - по- Для визначення розміру консолідованого платежу розглянемо два варіанти:
1) «про знаходиться всередині ряду п \, я ;,« з. пт, т. е. п \ пт. В цьому випадку консолідований платіж здійснюється пізніше останнього платежу початкової серії, тому в розрахунку присутній лише одна операція нарощення:
Приклад 3.1.23. Два платежу з термінами сплати через 100 і 150 днів і сумами 3 і 5 млн. Руб. замінюються одним з терміном 130 днів. Процентна ставка (проста) - 30%. Знайти Sq.
S0 = 3x [l + (30/360) x0,3] -t-5x [l + (20/360) x0,3]
це менше, ніж їх сумарна величина, так як консолідований платіж здійснюється раніше остаточного терміну початкової серії платежів.
Складні процентні ставки. При збереженні позначень, введених для простої ставки, маємо наступне рівняння еквівалентності.
S0 = YISJ x (l + 0 '' + / 1 + i'1. (3-1.54)
Визначення терміну консолідованого платежу. Якщо сума консолідованого платежу SQ задана, виникає задача визначення його терміну. Рівняння еквівалентності записується у вигляді рівності сучасних вартостей, які беруть участь в розрахунках платежів:
^ O + ixno) - '=? S, x (l + n, xi) "'. (3.1.55)
Провівши алгебраїчні перетворення, отримаємо:
Приклад 3.1.24. Суми в розмірах 5, 10, 15 млн.
руб. повинні бути виплачені, відповідно, через 40, 90 і 100 днів. Прийнято рішення замінити їх одним платежем 50 млн. Руб. Знайти термін консолідованого платежу, якщо використовувана в розрахунках процентна ставка 20%.
s, x (l + nyx0 = 5x [l + (40/365) x0,2]
'+ + 15х [1 + (160/365) х0,2] -' = 28,21 млн.руб.
п "= II 0,2 х (50 / 28,21 -1) = 3,86 року.
Складна процентна довідка. Якщо в розрахунках використовується складна процентна ставка, то рівняння еквівалентності має вигляд:
SAQ + i) "* = Х5; Х (1 +, 'Р- (3-1-57)
Провівши алгебраїчні перетворення, отримаємо:
Приклад 3.1.25. Платежі 2 і 3 млн. Руб. з термінами сплати через 2 і 3 роки, відповідно, об'єднуються в один 4 млн. руб. Знайти термін консолідованого платежу (п0), якщо / = 30%.
SJx (l + 0 "! '= 2х (1 + 0,3)
2 +3 х (1 + 0,3) -3 = 2,25 млн.руб.
п - hilliU = 0,4498 / 0,2623 = 1,714 років. In 1,3
Ключові терміни і поняття
Потоки платежів Постійні ренти Річна рента
Сучасна вартість потоку платежів
Ренти з нарахуванням відсотків за номінальною процентною ставкою
Ренти з неодноразовими виплатами на рік
Ренти з нарахуванням відсотків за номінальною процентною ставкою з неодноразовими виплатами протягом року
Ренти з виплатами на початку і середині періодів
Відкладені і вічні ренти
Визначення параметрів рент
Фінансова еквівалентність зобов'язань
1. Дайте визначення регулярним потокам платежів.
2. Напишіть формулу для обчислення нарощеної суми річної процентної ставки до кінця терміну.
3. Напишіть формулу нарощеної суми для ренти з нарахуванням відсотків за номінальною процентною ставкою з неодноразовими виплатами протягом року.
4. Як визначається сучасна вартість річної ренти?
5. Коли і як використовується метод лінійної інтерполяції?
1. Нарощена сума потоку платежів - це: А. сума всіх виплат з нарахуванням на них складних відсотків до кінця терміну;
Б, сума всіх виплат, дисконтованих на початок терміну за складною процентною ставкою;
В. сума всіх виплат, дисконтованих на коней терміну за складною процентною ставкою.
2. Формується фонд на основі щорічних відрахувань в сумі 5 млн. Руб. з нарахуванням на них складних відсотків в розмірі 20%. Визначте розмір фонду через 8 років.
A. 80,16 млн. Руб. Б. 85,74 млн. Руб.
3. При визначенні величини річної виплати ренти повинні бути задані всі параметри ренти, крім:
A. коефіцієнта нарощення; Б. терміну ренти;
B. сучасної вартості ренти; Г. річний виплати.
4. Сучасна вартість ренти постнумерандо з терміном 5 років - 500 млн. Руб. Відсоткова ставка дорівнює 15%. Визначте нарощену суму даної ренти:
A. 93,68 млн. Руб. Б. 1005,7 млн. Руб.
B. 1163,4 млн. Руб. Г. 1008,5 млн. Руб.
5. При розрахунку сучасної вартості відкладеної ренти спочатку визначають:
A. сучасну вартість вихідної ренти, у якій моментом приведення вважається початок виплат;
Б. час затримки у виплаті ренти;
B. коефіцієнт приведення ренти до початку виплат; Г. тривалість періоду ренти.
6. Визначити ціну річний вічної ренти, виплати за якою в кінці кожного року рівні 24 тис. Руб. при 12% річних.
A. 200 000 руб. Б. 250 000 руб.
B. 230 000 руб. Г. 210 000 руб.
7. Рента пренумерандо - це:
А. рента, в якій виплати проводяться в кінці періоду; Б. рента, в якій виплати проводяться на початку періоду;
8. рента, в якій виплати проводяться в середині періоду;
Г. рента, в якій початок виплат зрушено вперед.
8. Перший платіж дорівнює 900 руб. і повинен бути виплачений через 30 днів, другий дорівнює 920 руб. з виплатою через 270 днів. Порівняти ці два платежі при 15% ставці і при базі К = 360.
A. перший платіж перевищує другий;
Б. перший і другий платежі рівноцінні;
B. перший платіж менше другого.
9. ануїтет називають:
A. потоки платежів, у яких все виплати направлені в одну сторону (наприклад, надходження), а інтервали (періоди) між платежами однакові;
Б. потоки платежів, у яких частина виплат є позитивною величиною (надходження), а інша частина - негативною величиною (виплати стороннім організаціям), а інтервали між платежами не рівні один одному;
B. потоки платежів, у яких все виплати направлені в одну сторону (наприклад, надходження), а інтервали (періоди) між платежами неоднакові;
Г. потоки платежів, у яких частина виплат є позитивною величиною (надходження), а інша частина - негативною величиною (виплати стороннім організаціям), а інтервали між платежами рівні один одному.
10. Платежі 1 і 2 млн. Руб. з термінами сплати через 1 і 2 роки, відповідно, замінюються одним платежем з терміном сплати через 1,5 року, при 20% ставці. Визначте консолідовану суму:
A. 3,10 млн. Руб. Б. 2,92 млн. Руб.
B. 2,85 млн. Руб. Г. 3,05 млн. Руб.
Список використаної літератури
1. Гитман ЛДЖ. Джонки М Д. Основи інвестування. М. Справа,