квадрат: σ0 (n) непарній; ступінь 2: s (n) = n - 1 (майже досконале)
Випадки Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): X = 2. Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): X = 3 і так далі входять в послідовності A001157. A001158. A001159. A001160. A013954. A013955 ...
Для цілих, які не є квадратами, кожен дільник d числа n має парний дільник n / d, а значить, Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Sigma_ (n) завжди парне для таких чисел. Для квадратів один дільник, а саме Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Sqrt n. не має пари, так що для них Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Sigma_ (n) завжди непарній.
Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Begin \ sigma_0 (p) = 2 \\ \ sigma_0 (p ^ n) = N + 1 \\ \ sigma_1 (p) = P + 1 \ end
оскільки, за визначенням, просте число ділиться тільки на одиницю і самого себе. Якщо pn # означає прайморіал. то
Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Sigma_0 (p_n \ #) = 2 ^ n
Ясно, що Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): 1 <\sigma_0(n) texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): N> 2.
Якщо ми запишемо
Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): N = \ prod_ ^ r p_i ^.
де r = ω (n) - число простих дільників числа n. pi - i -й простий дільник, а ai - максимальний ступінь pi. на яку ділиться n. то
Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файлtexvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Sigma_x (n) = \ prod_ ^ \ frac ^ + 1) x> -1> ^ x-1>.
Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Sigma_x (n) = \ prod_ ^ r \ sum_ ^ p_i ^ = \ prod_ ^ r (1 + p_i ^ x + p_i ^ + \ cdots + p_i ^).
Якщо покласти x = 0, отримаємо, що d (n) дорівнює:
Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Sigma_0 (n) = \ prod_ ^ r (a_i + 1).
Наприклад, число n = 24 має два простих множника - p1 = 2 і p2 = 3. Оскільки 24 - це твір 2 3 × 3 1. то a1 = 3 і a2 = 1.
Тепер ми можемо обчислити Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Sigma_0 (24).
Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Begin \ sigma_0 (24) = \ Prod_ ^ (a_i + 1) \\ = (3 + 1) (1 + 1) = 4 \ times 2 = 8. \ end
Вісім дільників числа 24 - це 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, і 24.
Зауважимо також, що s (n) = σ (n) - n. Тут s (n) позначає суму власних дільників числа n. тобто дільників, за винятком самого числа n. Ця функція використовується для визначення совершенности числа - для них s (n) = n. Якщо s (n)> n. n називається надлишковим. а якщо s (n) Якщо n - ступінь двійки, тобто Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл Як приклад, для двох простих p і q (де p Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл Тоді коріння p і q рівняння: Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл Знаючи n і або σ (n), або φ (n) (або знаючи p + q і або σ (n), або φ (n)) ми легко можемо знайти p і q. У 1984 році Хиз-Браун (Roger Heath-Brown) довів, що Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл зустрічається нескінченно багато разів. Два ряди Діріхле. використовують функцію подільників: Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл Ряд Ламбера. використовує функцію подільників: Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл У термінах о-мале. функція дільників задовольняє нерівності (див. стор. 296 книги Апостола # 91; 6 # 93; ) для всіх Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл Северин Вігерт дав більш точну оцінку Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл У термінах О-велике. Діріхле показав, що середній порядок функції подільників задовольняє наступному нерівності (див. Теорему 3.3 книги Апостола />) для всіх Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл де Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл Завдання поліпшити кордон Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл Поведінка сигма функції нерівномірно. Асимптотическую швидкість росту сигма функції можна виразити формулою: Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл = E ^, У 1915 році Рамануджан довів, що при виконанні гіпотези Рімана нерівність Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл виконується для всіх досить великих n # 91; 8 # 93 ;. У 1984 році Гай Робін довів, що нерівність вірно для всіх n ≥ 5041 в тому і тільки в тому випадку, якщо гіпотеза Рімана вірна # 91; 9 # 93 ;. Це теорема Робіна і нерівність стало широко відомо після доведення теореми. Найбільше відоме число, що порушує нерівність - це n = 5040. Якщо гіпотеза Рімана вірна, то немає чисел, великих цього і порушують нерівність. Робін показав, що в разі помилковості гіпотези існує нескінченно багато чисел n. порушують нерівність, і відомо, що найменше з таких чисел n ≥ 5041 має бути надмірно числом # 91; 10 # 93 ;. Було показано, що нерівність виконується для великих непарних вільних від квадратів чисел, і що гіпотеза Рімана еквівалентна виконанню нерівності для всіх чисел n. діляться на п'яту ступінь простого числа # 91; 11 # 93; для будь-якого натурального n. де Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл Робін довів, що нерівність Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл виконується для n ≥ 3 без будь-яких додаткових умов.texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): N = 2 ^ k. то Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Sigma (n) = 2 \ times 2 ^ k - 1 = 2n - 1, and s (n) = n - 1. що робить n майже досконалим.
texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): N = pq.texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Sigma (n) = (p + 1) (q + 1) = n + 1 + (p + q), Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Phi (n) = (p-1) (q-1) = n + 1 - (p + q),texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): N + 1 = (\ sigma (n) + \ phi (n)) / 2, Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): P + q = (\ sigma (n) - \ phi (n)) / 2,texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): (Xp) (xq) = x ^ 2 - (p + q) x + n = x ^ 2 - [(\ sigma (n) - \ phi (n)) / 2] x + [(\ sigma (n) + \ phi (n)) / 2 - 1] = 0texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): P = (\ sigma (n) - \ phi (n)) / 4 - \ sqrt, Неможливо розібрати вираз (Здійснюється файл texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): Q = (\ sigma (n) - \ phi (n)) / 4 + \ sqrt.texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Sigma_0 (n) = \ sigma_0 (n + 1)Зв'язок з рядами
texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Sum _ ^ \ infty \ frac = \ zeta (s) \ zeta (s-a),texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Sum _ ^ \ infty \ frac = \ zeta ^ 2 (s),texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Sum _ ^ \ infty \ frac = \ frac.texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Sum _ ^ \ infty q ^ n \ sigma_a (n) = \ sum _ ^ \ infty \ fracАсимптотична швидкість росту
texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Epsilon> 0, \ quad d (n) = o (n ^ \ epsilon).texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Limsup_ \ frac = \ log2.texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Liminf_ d (n) = 2.texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): X \ geq1, \ sum_d (n) = x \ log x + (2 \ gamma-1) x + O (\ sqrt),texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Gamma - постійна Ейлера - Маськероні.texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): O (\ sqrt) в цій формулі - це проблема Діріхле про делителяхtexvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Limsup_ \ frac = e ^ \ gamma,texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Lim_ \ frac \ prod_ \ fractexvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ \ Sigma (n) texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ Sigma (n) \ le H_n + \ ln (H_n) e ^texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): H_n - n -е гармонійне число # 91; 12 # 93;texvc НЕ знайдений; Див. Math / README - довідку про налаштування.): \ \ Sigma (n) Напишіть відгук про статтю "Функція подільників"
Примітки
Схожі статті