- півгрупа, яка не містить власних ідеалів або конгруенції того чи іншого фіксованого типу. Залежно від розглянутого твань виникають різні типи П. і. ідеально проста - що не містить власних двосторонніх ідеалів (термін "П. п." часто відносять тільки до таких напівгруп), проста зліва (справа) - не містить власних лівих (правих) ідеалів, 0-проста (зліва, справа) - півгрупа з нулем, яка містить власних ненульових двосторонніх (лівих, правих) ідеалів і не є двоелементною полугруппой з нульовим множенням, Біпрості - що складається з одного -класу (див. Гріна відносини еквівалентності), 0-Біпрості - що складається з двох - класів, один з к -рих нульовий, проста щодо до груенціі - не має конгруенції, крім універсального відносини і відносини рівності.
Будь-яка проста слова або праворуч півгрупа Біпрості; всяка Біпрості півгрупа ідеально проста, але існують ідеально П. п. не є Біпрості (і навіть такі, що всі їхні-класи одноелементна). Найважливішим типом ідеально П. п. (0-простих напівгруп) є цілком проста півгрупа (цілком 0-проста півгрупа). Найважливіші приклади Біпрості, але не цілком П. п. Біциклічні півгрупа, четирехспіральная півгрупа S р 4 (див. [11]) - це півгрупа, задана породжують а, b, с, d і визначальними співвідношеннями а 2 = а. b 2 = b. з 2 = с. d 2 = d, ba = a, ab = b, bc = b, cb = c, dc = c, cd = d, da = d; півгрупа Sp4 ізоморфна Рисовский полугруппе матричного типу над біцікліч. полугруппой з породжують і, v, де uv = 1, з сендвіч-матрицею
Четирехспіральная півгрупа є в недо-ром сенсі мінімальної серед Біпрості і не цілком П. п. Породжених кінцевим числом ідемпотентів, і нерідко виникає як подполугруппа таких напівгруп.
Прості справа напівгрупи (п. С. П.) Зв. також напівгрупами з правим поділом або напівгрупами з правого оборотністю. Підставою для цих термінів є наступна властивість таких напівгруп, еквівалентну визначенням: для будь-яких елементів АІ bсуществует елемент хтакой, що аx = b. П. с. п. містять ідемпотентів, - це в точності праві групи. Важливий приклад п. С. п. без ідешютентов доставляє півгрупа Т (М, d, р, q) .всех таких перетворень j безлічі
М, що 1) .ядро j дорівнює відношенню еквівалентності d на М, 2) потужність фактормножество M / d дорівнює р, 3) безліч Mj перетинається з кожним d-класом не більше ніж по одному елементу, 4) безліч d-класів, які не перетинаються з Му, має нескінченну потужність q, причому. Напівгрупа Т (М, d, р, q) .наз. полугруппой Тесье типу (р, q), а в разі, коли d - відношення рівності, вона наз. полугруппой Бера -Ліва типу (р, q). (див. [6], [7J). Напівгрупа Тесье - приклад п. С. п. без ідемпотентів, не обов'язково задовольняє правобічний закону скорочення. Будь-п. С. п. без ідемпотентів вкладається в підходящу напівгрупу Тесье, а будь-яка п. с. п. без ідемпотентів і з правостороннім законом скорочення вкладається в підходящу напівгрупу Бера - Леві (причому в обох випадках можна вибрати р = q).
Різні типи П. п. Часто виникають як "блоків", з яких брало будуються розглядаються напівгрупи. З приводу класичні. прикладів П. п. см. Цілком проста півгрупа, Брандта півгрупа, Права група. ; Про Біпрості інверсних напівгрупах (в тому числі структурні теореми при деяких обмеженнях на полурешетку ідемпотентів) см. | 1], [8], [9]. Існують ідеально прості інверсні напівгрупи з довільним числом -класів. При вивченні вкладень напівгруп в П. п. Зазвичай або вказуються умови для можливості відповідного вкладення, або встановлюється, що будь-яка півгрупа вкладається в підходящу П. п. Розглянутого типу; напр. будь-яка півгрупа вкладається в Біпрості напівгрупу з одиницею (див. [1]), в Біпрості напівгрупу, породжену ідемпотентів (див. [10]), в просту щодо конгруенції напівгрупу (к-раю може мати ті чи інші наперед заданими властивостями: наявність або відсутність нуля, повнота, порожнеча подполугруппи Фраттіні і т. д. см. [3] - [5]).
Літ. : [1] Кліффорд А. Престон Г. Алгебраїчна теорія напівгруп, пров. з англ. т. 1-2, М. 1972; [2] Ляпін Е. С. Напівгрупи, М. 1960; [3] Боіуть Л. А. "Сиб. Матем. Ж.", 1963, т. 4, N5 3, с. 500-18; [4] Шутов Е. Г. "Матем. Зб.", 1963, т. 62, М5 4, с. 496-511; [5] Клімов В. Н. "Сиб. Матем. Ж.". 973, т. 14, № 5, с. 1025-36; [6] Ваеr В. Lеvi F. "Sitzungsber. Heidelberg. Akad. Wiss. Math.-naturwiss. Kl.", 1932, Abh. 2, S. 3-12; [7] Теissiеr М. "Compt. Rend. Acad. Sci.", 1953, v. 236, № 11, p. 1120 - 22; [8] Munn W. D. в кн. Semigroups, N. Y.- L. 1969 p. 107-23; [9] Ноwie J. An introduction to semigroup theory, L.- [a. o.], 1976; [10] Pastijn F. "Semigroup Forum", 1977, v. 14, № 3, p. 247- 263; [11] Вуleen K. Meakin J. Pastijn F. "J. Algebra", 1978, v. 54, p. 6-26. Л. Н. Шеврин.
Математична енциклопедія. - М. Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.
ЦІЛКОМ ПРОСТА Напівгрупа ЦІЛКОМ ПРОСТА Напівгрупа один з найважливіших типів простих напівгруп. Напівгрупа Sназ. цілком простий (цілком 0-простий - в. 0-п. п), якщо вона ідеально проста (0-проста) і містить примітивний ідемпотентів, т. <е. ненулевой идем-потент, не являющийся единицей ни для какого ненулевого идемпотента из
Напівгрупа Напівгрупа - безліч з однієї бінарної операцією, що задовольняє закону асоціативності. Поняття П. є узагальнення поняття групи: з аксіом групи залишається лише одна - асоціативність; цим пояснюється і термін «П.». П. називають іноді моноїд, але останній термін вживається частіше
Впорядкованість Напівгрупа впорядкованості Напівгрупа півгрупа, наділена структурою (часткового, взагалі кажучи) порядку стабільного щодо полугрупповой операції, т. Е. Для будь-яких елементів а, b, з з слід і Якщо відношення на У. н. Sесть лінійний порядок, то S зв. лінійно впорядкованої полугруппой (л. у. п.
Інверсний Напівгрупа інверсний Напівгрупа - півгрупа, в якій для будь-якого елемента асуществует єдиний інверсний до нього елемент а -1 (див. Регулярний елемент). Властивість напівгрупи Sбить инверсной еквівалентно кожному з наступних: S регулярна півгрупа і будь-які два її ідемпотентів перестановки (таким про
РЕГУЛЯРНЕ Напівгрупа РЕГУЛЯРНЕ Напівгрупа півгрупа, кожен елемент к-рій регулярний. Довільна Р. п. Sсодержіт ідемпотентів (див. Регулярний елемент), і будова Sв значній мірі визначається "будовою" і "розташуванням" в Sмножества всіх її ідемпотентів Е (S). Р. п. З єдиним ідемпотентів - це в
Біциклічні Напівгрупа Біциклічні Напівгрупа півгрупа з одиницею і з двома утворюють задана визначальним співвідношенням. Одна з реалізацій Б. п декартовий квадрат. де - безліч невід'ємних цілих чисел щодо операції Б. п. є инверсной полугруппой і як інверсна півгрупа моногом
Брандт Напівгрупа Брандт Напівгрупа -полугруппа Sс нулем, в якій кожному ненульових елементів асоответствуют такі однозначно певні елементи. що. і для будь-яких двох ненульових ідемпотентів має місце. Елементи е і /, зазначені в ухвалі, насправді будуть ідемпотентів, причому Крім того, в Б. п