Багатоканальна СМО з відмовами в обслуговуванні
Приклад. АТС має k ліній зв'язку. Потік викликів - найпростіший з інтенсивністю # 955; в хвилину. Середній час переговорів становить t хвилин. Час переговорів має показовий розподіл. Знайти: а) ймовірність того, що всі лінії зв'язку зайняті; б) відносну і абсолютну пропускні спроможності АТС; в) середнє число зайнятих ліній зв'язку. Визначити оптимальне число ліній зв'язку, достатню для того, щоб ймовірність відмови не перевищувала # 945 ;.
k = 5; # 955; = 0.6; t = 3.5, # 945; = 0.04.
Рішення. Обчислюємо показники обслуговування багатоканальної СМО:
Інтенсивність потоку обслуговування:
# 956; = 1 / 3.5 = 0.29
1. Інтенсивність навантаження.
# 961; = # 955; • tобс = 0.6 • 3.5 = 2.1
інтенсивність навантаження # 961; = 2.1 показує ступінь узгодженості вхідного і вихідного потоків заявок каналу обслуговування і визначає стійкість системи масового обслуговування.
3. Імовірність, що канал вільний (частка часу простою каналів).
Отже, 13% протягом години канал буде не зайнятий, час простою одно tпр = 7.5 хв.
Імовірність того, що обслуговуванням:
зайнятий 1 канал:
p1 = # 961; 1/1! p0 = 2.1 1/1! • 0.13 = 0.26
зайняті 2 канали:
p2 = # 961; 2/2! p0 = 2.1 2/2! • 0.13 = 0.28
зайняті 3 канали:
p3 = # 961; 3/3! p0 = 2.1 3/3! • 0.13 = 0.19
зайняті 4 канали:
p4 = # 961; 4/4! p0 = 2.1 4/4! • 0.13 = 0.1
зайняті 5 каналу:
p5 = # 961; 5/5! p0 = 2.1 5/5! • 0.13 = 0.0425 (ймовірність того, що всі лінії зв'язку зайняті)
4. Частка заявок, які отримали відмову.
Значить, 4% з числа заявок, що надійшли не приймаються до обслуговування.
5. Імовірність обслуговування заявок.
У системах з відмовами події відмови і обслуговування складають повну групу подій, тому:
Pотк + pобс = 1
Відносна пропускна здатність: Q = pобс.
pобс = 1 - Pотк = 1 - 0.0425 = 0.96
Отже, 96% з числа заявок, що надійшли будуть обслужені. Прийнятний рівень обслуговування повинен бути вище 90%.
6. Середнє число зайнятих ліній зв'язку
nз = # 961; • pобс = 2.1 • 0.96 = 2.01 лінії.
Середнє число простоюють каналів.
nпр = n - nз = 5 - 2.01 = 3 каналу.
7. Коефіцієнт зайнятості каналів обслуговуванням.
K3 = n3 / n = 2.01 / 5 = 0.4
Отже, система на 40% зайнята обслуговуванням.
8. Абсолютна пропускна здатність.
A = pобс • # 955; = 0.96 • 0.6 = 0.57 заявок / хв.
9. Середній час простою СМО.
tпр = Pотк • tобс = 0.0425 • 3.5 = 0.15 хв.
12. Середнє число обслуговуваних заявок.
Lобс = # 961; • Q = 2.1 • 0.96 = 2.01 од.
Для визначення оптимального число ліній зв'язку, достатню для того, щоб ймовірність відмови не перевищувала 0.04, скористаємося формулою:
Для наших даних:
де
Підбираючи кількість ліній зв'язків, знаходимо, що при k = 6, Pотк = 0.0147 <0.04, p0 = 0.12
завантажити рішення
Рекомендації до вирішення завдання: тут n = 3; # 955; = 75 од. в годину.; t = 2 хв. або # 956; = 30 од. в годину.
2. Пункт по ремонту квартир працює в режимі відмови і складається з двох бригад. Інтенсивність потоку заявок # 955 ;, продуктивність пункту # 956 ;. Визначити ймовірність того, що обидва канали вільні, один канал зайнятий, обидва канали зайняті, ймовірність відмови, відносну і абсолютну пропускні спроможності, середньо число зайнятих бригад.
Рекомендації до вирішення завдання: тут n = 2; # 955; = 1.5 од. в годину.; # 956; = 1.8 од. в годину.
3. В обчислювальний центр колективного користування з трьома ЕОМ надходять замовлення від підприємств на обчислювальні роботи. Якщо працюють всі три ЕОМ, то знову надходить замовлення не приймається, і підприємство змушене звернутися в інший обчислювальний центр. Середній час роботи з одним замовленням становить 3 год. Інтенсивність потоку заявок 0,25 (1 / ч). Знайти граничні ймовірності станів і показники ефективності роботи обчислювального центру.
Рекомендації до вирішення завдання: тут n = 3; # 955; = 0.25 од. в годину.; tобс = 3 год.
Багатоканальна СМО з обмеженою довжиною черги
1. Побудувати дві моделі багатоканальної системи масового обслуговування - з нескінченної і обмеженою чергою. Обчислити Р0 - імовірність простоювання всіх каналів обслуговування, nw - середня кількість клієнтів, які очікують обслуговування, tw - середній час очікування обслуговування, W - ймовірність обов'язкового перебування в черзі.
2. У міні-маркет надходить потік покупців з інтенсивністю 6 покупців в 1 хв. яких обслуговують три контролера-касира з інтенсивністю 2 покупця в 1 хв. довжина черги обмежена 5 покупцями.
Рекомендації до вирішення завдання: тут n = 3; m = 5; # 955; = 6 од. в хв .; # 956; = 2 од. в хв.
3. На плодоовочеву базу в середньому через 30 хв. прибувають автомашини з плодоовочевою продукцією. Середній час розвантаження однієї машини складають 1.5 ч. Розвантаження виробляють дві бригади. На території бази у дебаркадера можуть перебувати в черзі в очікуванні розвантаження не більше 4 автомашин.
Рекомендації до вирішення завдання: тут n = 2; m = 4; # 955; = 2 од. в годину.; # 956; = 2/3 = 0.67 од. в годину.
4. На автомийку в середньому за годину приїжджають 9 автомобілів, але якщо в черзі вже перебувають 4 автомобілі, знову під'їжджають клієнти, як правило, не встають в чергу, а проїжджають повз. Середній час мийки автомобіля становить 20 хв. а місць для мийки всього два. Середня вартість мийки автомобіля становить 70 руб. Визначте середню величину втрати виручки автомийки протягом дня.
Рекомендації до вирішення завдання: тут n = 2; m = 4; # 955; = 9 од. в годину.; tобс = 20 хв.
Величина втрати виручки: S = t час роботи мийки за день # 955; • Pотк • 70 руб. (Відповідь 5443.2 руб.)
5. Магазин отримує овочі з теплиць. Автомобілі з вантажем прибувають з інтенсивністю # 955; машин в день. Підсобні приміщення дозволяють обробляти і зберігати товар, привезений m автомобілями. У магазині працюють n фасувальників, кожен з яких в середньому може обробляти товар з однієї машини в перебігу tобсл. годин. Тривалість робочого дня при змінній роботі становить 12 годин. Визначити ємність підсобних приміщень при заданої ймовірності Р * обсл. повної обробки товарів.
6. Є автозаправна станція з 2-ма колонками. У черзі не може бути більше 3-х машин. Інтенсивність і середній час заправки рівні 2.1 і 0.55. Знайти ймовірність простою системи.
Рішення.
Інтенсивність потоку обслуговування дорівнює # 956; = 1 / 0.55 = 1.82. Звідси, інтенсивність навантаження складе # 961; = # 955; • tобс = 2.1 • 0.55 = 1.16. Зауважимо, що інтенсивність навантаження # 961; = 1.16 показує ступінь узгодженості вхідного і вихідного потоків заявок каналу обслуговування і визначає стійкість системи масового обслуговування.
оскільки 1.16<2, то процесс обслуживания будет стабилен.
Імовірність простою системи виражається наступною формулою:
Отже, 28% протягом години канал буде не зайнятий, час простою одно tпр = 0.28 * 60 хв. = 16.9 хв.
Багатоканальна СМО з необмеженою чергою
1. Побудувати дві моделі багатоканальної системи масового обслуговування - з нескінченної і обмеженою чергою. Обчислити Р0 - імовірність простоювання всіх каналів обслуговування, nw - середня кількість клієнтів, які очікують обслуговування, tw - середній час очікування обслуговування, W - ймовірність обов'язкового перебування в черзі.
2. У розрахунковому вузлі магазину самообслуговування працюють 3 каси. інтенсивність вхідного потоку становить 5 покупців в хвилину. інтенсивність обслуговування кожного контролера-касира становить 2 покупця хвилину.
Рекомендації до вирішення завдання: тут n = 3; # 955; = 5 од. в хв .; # 956; = 2 од. в хв.
Як кількість заявок в черзі можна вказати, наприклад, m = 4. тоді будуть розраховані відповідні ймовірність появи даних заявок.
3. В аудиторську фірму надходить найпростіший потік заявок на обслуговування з інтенсивністю # 955; = 1,5 заявки в день. Час обслуговування розподілено по показовому закону і так само в середньому трьом дням. Аудиторська фірма має в своєму розпорядженні п'ятьма незалежними бухгалтерами, які виконують аудиторські перевірки (обслуговування заявок). Черга заявок не обмежена. Дисципліна черги не регламентована. Визначте ймовірні характеристики аудиторської фірми як системи масового обслуговування, що працює в стаціонарному режимі.
Рекомендації до вирішення завдання: тут n = 5; # 955; = 1.5 од. в годину.; tобс = 3 од. в годину.
Після рішення необхідно замінити одиниці виміру "час" на "дні".
4. У майстерні по ремонту холодильників працює n майстрів. В середньому протягом дня надходить в ремонт # 955; холодильників. Потік заявок пуассоновский. Час ремонту підпорядковується експоненціальним законом розподілу ймовірностей, в середньому протягом дня при семигодинний робочий день кожен з майстрів ремонтує # 956; холодильників.
Потрібно визначити: 1) ймовірність того, що всі майстри вільні від ремонту холодильників, 2) ймовірність того, що всі майстри зайняті ремонтом, 3) середній час ремонту одного холодильника, 4) в середньому час очікування початку ремонту для кожного холодильника, 5) середню довжину черги, яка визначає необхідну місце для зберігання холодильника, що вимагає ремонту, 6) середнє число майстрів, вільних від роботи.