Рішення типових задач з механіки не складно. Як правило, ці завдання пов'язані з використання основних понять механіки і простих співвідношень між ними. Прикладом такого завдання може бути така умова: показати, що при заданій швидкості запуску диска спортсменом максимальна дальність польоту досягається при куті пуску рівному 45 # 730; до горизонту. Для вирішення цього завдання досить пам'ятати або знайти в підручнику формулу для максимальної довжини польоту тіла, кинутого під кутом до горизонту. Застосовуючи умова екстремуму до функції, легко знайти, що кут 45 o відповідає максимуму довжини.
Значно складніше вирішувати завдання з механіки, в яких рішення не визначається готовими формулами, а вимагає напружених роздумів і глибокого розуміння матеріалу теми. Завдання такого плану в великій кількості дані у відомому задачнику Московського фізико-технічного інституту: С.М.Козел, Е.І.Рашба, С.А.Славатінскій «Збірник завдань з фізики». Перехід від впевненого вирішення простих завдань до настільки ж впевненому вирішенню складних є типовим прикладом розвитку творчих здібностей студента. Він добре відображає загальну тенденцію пізнання, коли людина переходить від розуміння простого до розуміння складного. Найцінніше при цьому полягає в тому, що на цьому шляху відбувається постійного накопичення знань і навичок, і прийоми простих рішень стають складовими кроками складних. Сказане означає, що прийоми і алгоритми рішень як простих, так і складних завдань мають загальні основи або правила. Ці правила можна сформулювати так.
Правило 1. Успіх рішення задачі залежить від того, наскільки глибоко зрозумілі умови задачі.
Під розумінням мається на увазі впевнені знання всіх фізичних величин, що входять в умову задачі, а також ясне бачення причинно-наслідкових зв'язків між величинами задачі. Якщо по завданню немає ясного бачення ні про фізичних величинах, ні про функціональних зв'язках між ними, необхідно відкрити конспект лекцій чи підручник і уважно прочитати потрібний матеріал. Для пошуку в підручнику потрібного матеріалу слід скористатися змістом і умовами завдання. Якщо в задачі фігурує матеріальна точка. слід звернутися до розділів кінематики і динаміки матеріальної точки. Якщо в умові йде речьо твердому тілі. потрібно відкрити розділи, присвячені кінематики і динаміці твердого тіла. І так слід чинити в будь-якому випадку, коли знань на даний момент не вистачає. Вони з'являться, але для цього доведеться напружити мізки і попрацювати.
Правило 2. Для того, щоб вирішити задачу, потрібно побудувати логічну покрокову схему, яка дозволить перевести дані завдання в шукане рішення. Приклади побудови таких логічних схем при вирішенні задач підвищеної труднощі наведені в цьому розділі.
Правило 3 (магістр, спеціаліст). Рішення задач, за рідкісним винятком, має проводитися в алгебраїчних величинах. Це полегшує як саму процедуру обчислень, так і перевірку правильності проміжних кроків. Алгебраїчний підхід дозволяє також на кожному кроці завдання використовувати метод розмірностей для перевірки проміжних і остаточних висновків. При проведенні чисельних обчислень потрібно користуватися правилом наближених обчислень. Зокрема, точність обчислень повинна відповідати точності заданих вихідних фізичних величин.
Об'єднуючи два перших правила разом, отримаємо загальний алгоритм вирішення з Адачі з механіки:
1. Будується фізична модель задачі, проводиться при необхідності зведення її до послідовності логічно пов'язаних підзадач, рішення кожної з яких відомо раніше, проводиться об'єднання рішень всіх підзадач в остаточне рішення.
2. Визначаються ключові поняття завдання та функціональні зв'язки між ними. Фіксуються «зовнішні» умови задачі: характер руху фізичного об'єкта, замкнутість або розімкнення фізичної системи, характер діючих в ній сил: потенційних чи ні, наслідки з цих умов і т.д.
3. Будується логічна схема рішення, проводиться при необхідності зведення її до послідовності логічно пов'язаних підзадач, рішення кожної з яких відомо раніше, проводиться об'єднання рішень всіх підзадач в остаточне рішення.
Нижче на прикладі рішення трьох завдань підвищеної складності дана демонстрація того, як шукається рішення відповідно до наведеного алгоритмом. Три інших прикладу конструювання рішень дано в розділі 5 «Завдання-оцінки».
З колеса автомобіля, що рухається зіскакує декоративний ковпак, який, пострибавши по дорозі, починає котитися без ковзання. При якій швидкості автомобіля Vo це можливо? Радіус колеса дорівнює R = 40 см. Ковпак можна розглядати як однорідний диск радіусом r = 20 см. Коефіцієнт тертя між ковпаком і дорогий k = 0,2.
1.Фізичні модель задачі
Спочатку ковпак рухається з колесом з поступальною швидкістю Vo і кутовий швидкістю обертання o = Vo / R. Після зриву центру мас ковпак падає з висоти (R-r) на дорогу і починає підскакувати, відчуваючи з дорогою неупругие зіткнення.
У кожен момент контакту з землею на ковпак діють дві сили: тертя ковзання і реакція поверхні, рівна за величиною і протилежна за направленням силі тиску ковпака на поверхню. Ефекти від дії цих сил легко визначити з малюнка.
Як видно з малюнка, сила тертя уповільнює поступальний рух колеса, одночасно прискорюючи його обертальний рух, так як момент цієї сили спрямований в напрямку обертання.
Через непружного взаємодії ковпака з дорогою після кожного удару підскок ковпака стає нижче і нижче, і, нарешті, підстрибування припиняється. Це означає, що вся потенційна енергія, якою ковпак мав вначале- витрачена, разом з нею був втрачений і частина енергії поступального руху за рахунок дії сили тертя.
2 Основні поняття
Кочення без проковзування, непружні зіткнення, сила тертя ковзання, момент сили тертя, сила реакції, сила тиску, рівняння руху твердого тіла.
Кочення без проковзування це рух колеса, в даній задачі ковпака, коли в точці контакту колеса і поверхні, швидкість колеса дорівнює нулю. Це означає, що немає ковзання одного тіла відносно іншого. При коченні без ковзання ковпака швидкість його центру мас пов'язана з кутовою швидкістю обертання співвідношенням:
При прослизанні ця умова не виконується і. або.
Сила тертя ковзання дорівнює. де N - сила тиску, що дорівнює і протилежна по напрямку силі реакції опори. Сила тиску в загальному випадку залежить від характеру взаємодії тел. Зокрема, в даній задачі вона залежить від вертикального імпульсу центру мас колеса. Зв'язок всіх названих фізичних величин завдання задається рівнянням руху твердого тіла:
де m і I-маса і момент інерції ковпака, t - час,
- моменти сил тертя і реакція опори відносно центру мас ковпака.
3.Логіческая схема рішення
Запишемо рівняння руху ковпака в координатних осях x, y і z (вісь z проходить через центр мас колеса):
У наведених формулах всі позначення відповідають малюнку. Момент сили реакції в останнє рівняння не входить, так як він дорівнює нулю.
Розділимо перше рівняння на друге. В результаті отримаємо:
Проинтегрируем отримане рівняння в межах зміни швидкості V x від Vo до Vкач. а Vy від Vyo до нуля.
Так як центр мас ковпака падає з висоти (R-r), то Voy дорівнює:
Зв'яжемо тепер поступальну швидкість руху ковпака з його кутовий швидкістю. Для цього розділимо перше рівняння системи на третє. отримаємо,
Проинтегрируем ліву частину рівняння в межах від Vo до Vкач. а праву частину від o до кач
Тепер об'єднаємо проміжні результати
Підставами в останній вираз чисельні значення, знайдемо, що подібний рух ковпака виникає при