Пам'ять людства не зберегла, що не донесла до нас ім'я винахідника колеса або гончарного круга. Це й не дивно: більше 10 тис. Років пройшло з тих пір, як люди всерйоз зайнялися землеробством, скотарством і виробництвом найпростіших товарів. Назвати ж ім'я генія вперше який поставив питанням «скільки?», Тим більше неможливо.
У кам'яному столітті, коли люди збирали плоди, ловили рибу і полювали на тварин, потреба в рахунку виникла так само природно, як і потреба в добуванні вогню. Про це свідчать знахідки археологів на стоянках первісних людей. Наприклад, в 1937 році в Моравії на місці однієї з таких стоянок знайдено вовча кістка з 55 глибокими зарубками. Пізніше в інших місцях вчені знаходили настільки ж древні кам'яні предмети з точками і рисками, згрупованими по 3 або по 5. Це були найдавніші системи запису чисел - системи числення.
Системи числення з найдавніших часів до наших днів.
Найдавніша система запису чисел називається одиничною, т. К. Будь-яке число в ній утворюється шляхом повторення одного знака, що символізує одиницю. Угруповання і допоміжні значки використовуються лише для полегшення сприйняття великих чисел.
Одинична система числення первісних людей, які малювали палички на стінах печери або робили зарубки на кістках тварин і гілках дерев не забута і в наші дні. Як дізнатися, на якому курсі навчається курсант військового училища? Порахуйте скільки смужок нашито на рукаві його мундира. Про кількість літаків противника, збитих асом в повітряних боях, говорить число зірочок, намальованих на фюзеляжі його літака.
Поштучно рахувати предмети зручно тоді, коли їх не дуже багато. Перераховувати ж таким чином великі сукупності нудно і втомлює, тому виникла ідея об'єднувати одиниці в групи.
Пізніше з'явилося багато різних числових систем, ось найбільш відомі з них.
Близько 3-2,5 тисяч років до нашої ери стародавні єгиптяни придумали свою числову систему. У ній ключові числа: 1, 10, 100 і т. Д. - зображувалися спеціальними значками-ієрогліфами. Єгиптяни висікали їх на стінах поховальних камер, писали тростинним пером на свитках папірусу.
Серед безлічі ієрогліфічних систем числення, які існували в різні часи у різних народів, тільки одна використовується до сих пір. Її цифри знайомі всім, хоча їм вже близько 2,5 тисячоліть. Ці цифри зустрічаються на циферблатах годинників, фронтонах старовинних і сучасних будівель, пам'ятниках, сторінках книг. Ну звичайно ж, мова йде про римської системі числення.
Крім єгипетської і римської до ієрогліфічним системам чисел відносяться фінікійський, Пальмірський, крітська, сирійська, грецька аттическая, або Геродіанова (саме з повідомлення граматика Геродиана, що жив у 2-3 століттях, західноєвропейські історики вперше дізналися про її існування). Відомі також старокітайская, староіндійській, ацтекська ієрогліфічні системи. У них, як у єгипетської і римської системах вводяться ключові числа, для позначення яких застосовуються спеціальні ієрогліфи. Всі інші числа утворюються приписуванням з тієї чи іншої сторони ключового числа інших ключових чисел, можливо з деякими повтореннями.
Цікаво відзначити, що у багатьох народів для позначення числа 1 застосовувався один і той же символ - вертикальна риска. Це найдавніше число в історії людства. Воно виникло з простої риси на землі, з зарубки на дереві або кістки.
Поряд з ієрогліфічними в давнину широко застосовувалися системи, в яких числа зображувалися літерами алфавіту. Саме такою була грецька алфавітна нумерація, що отримала назву ионической. Вона змінила аттическую систему в 3 столітті до н. е. разом з християнством і писемністю ця нумерація прийшла до слов'ян - спочатку до південних, потім і до східних.
Схожі системи числення, в яких літери алфавіти за сумісництвом «підробляли» цифрами, використовувалися в старовину у арабів, євреїв, грузинів, вірмен.
Записи чисел в алфавітній нумерації виходять більш короткими, ніж в ієрогліфічним. Але і в тій і в іншій системи подання чисел є один досить істотний недолік: арифметичні дії над такими числами - заняття вельми трудомістка. Цього незручності немає у позіонних систем. Ідея приписувати цифрам різні величини в залежності від того, яку позицію вони займають в запису числа, вперше з'явилася в 3 тисячолітті до н. агов. в Месопотамії (Межиріччя) у стародавнього талановитого народу - шумери. Від них вона перейшла до вавилонянам - новим господарям Межиріччя, чому і увійшла в історію як вавилонська система числення.
Шістдесяткова система широко застосовувалася в астрономічних розрахунках аж до епохи Відродження.
Найдавніша відома запис в позиційній десятковій системі виявлена в Індії і датується 595 роком. Поява добре знайомого нам нуля було підготовлено системами числення, здавна застосовувалися не тільки в Індії, але і в Стародавньому Китаї. У цих старовинних системах для запису однакового числа одиниць, десятків, сотень або тисяч використовувалися одні і ті ж символи, але додатково позначати, в якому розряді вони стоять. Поступово помітили, що навіть якщо не вказувати імена розрядів, то число все рівно можна прочитати, т. К. У кожного розряду є своє «посадочне місце» - позиція. А якщо позиція порожня, то її потрібно позначити спеціальним значком - нулем. У пізніх вавилонських текстах став з'являтися такий знак, однак в кінці числа його ніколи не ставили. Лише в Індії в 9 столітті нуль остаточно зайняв своє місце в нумерації, яка поширилася потім по всьому світу.
Індійська нумерація прийшла спочатку в арабські країни, а потім і в Західну Європу. Про неї докладно розповів середньоазіатський математик аль-Хорезмі. Прості і зручні правила додавання і віднімання як завгодно великих чисел, записаних в позиційній системі, зробили її особливо популярною. А оскільки праця аль-Хорезмі був написаний на загальному для мусульманського світу мові-арабському, то за індійської нумерацією в Європі закріпилося неправильна назва - «арабська».
У десятковій системі всього 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Кажуть також, що ці цифри є коефіцієнти розкладання заданого числа за ступенями 10, а саме число 10 називають підставою системи числення. «Вага» цифри в десяткового запису числа визначається її позицією: чим далі відстоїть дана позиція від крайнього правого розряду одиниць, тим більшу «солідність» і «вага» вона має. Тому прийнята система запису чисел називається десятковою позиційною системою числення.
Позиційна система числення, в якій в якості базових чисел вибираються ступеня числа 2, називається двійковій позиційній системою числення. Щоб розрізнити числа, записані в різних системах числення, їх укладають в дужки, а внизу праворуч вказують підставу системи числення. Наприклад, запис (1100) 2 означає те ж саме число, що і запис (12) 10. Оскільки всі ми користуємося десятковою системою числення, то десяткове підставу зазвичай не вказується: (1100) 2 = 12.
Двійкова система числення стала одним з витоків сталася в 20 столітті грандіозної комп'ютерної революції. Технічно дві цифри відтворити просто: один - проходить струм в напівпровідниковому елементі, нуль - струм не проходить. Стану елемента «проходить струм» і «не проходить струм» можуть змінювати один одного за дуже короткі проміжки часу - мільйонні частки секунди. Це дозволяє проводити арифметичні дії над двійковими цифрами з неймовірною швидкістю.
У порівнянні з громіздкими таблицями множення і складання в десятковій системі, таблиці множення і додавання двійкових чисел мініатюрні.
Операції найпростіші, і комп'ютер виконує їх бездоганно. Але іноді в машині відбувається який-небудь збій або програма-завдання комп'ютера на виконання розрахунків - містить помилку. Тоді програмістам доводиться перевіряти ще раз себе і комп'ютер, тому без знання всієї комп'ютерної кухні, «куховарити» двійкові числа, хорошого фахівця ніяк не обійтися.
До недоліків двійковій системи можна віднести тільки «довгу» запис чисел (чим менше в системі цифр, тим довше буде запис числа). Переклад в двійкову систему навряд чи вдасться виконати в розумі, тому стали використовувати системи, родинні двійковій системі числення, в яких запис числа на папері коротше, ніж в двійковій, а алгоритми перекладу не вимагають складних обчислень.
У вісімковій системі 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, записана в молодшому розряді означає - як і в десятковому числі просто одиницю, а в наступному розряді вона означає 8, у наступному - 64 і т. д.
Запис числа в вісімковій системі досить компактна, але ще компактніше вона виходить в шістнадцятковій системі. Для перших десяти цифр використовуються звичні цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а для інших шести цифр - перші літери латинського алфавіту: A-10, B-11, C-12 , D-13, E-14, F-15. Як і в вісімковій системі, цифра 1, записана в молодшому розряді, означає одиницю. У наступному розряді та ж цифра 1 означає 16, в наступному - 256 і т. Д. Цифра F, записана в молодшому розряді, означає 15, в наступному розряді - 15 ∙ 16 і т. Д.
Таким чином, в сучасних інформаційних технологіях при створенні програмного забезпечення в основному використовується двійкова система числення, так як комп'ютера легше оперувати великою кількістю простих елементів, ніж невеликим числом складних.
У сучасній дійсності люди використовують багато систем числення. Іноді ми навіть самі не помічаємо, що, наприклад, ми користуємося Шістдесяткова системою в годинах, Дванадцяткова в календарі і т. Д. Ми не помічаємо їх навколо себе, але ж без них ми вже не мислимо життя. Історія відсортувала ці системи, і деякі з них безслідно зникли, але зате зараз різні системи там, де їх використовувати зручніше. Наприклад, людині легше сприймати короткі десяткові числа, а комп'ютера зручніше працювати з великою кількістю простих сигналів в довічних числах. За довгий час розкрилися переваги і недоліки різних систем числення, і зараз вони використовуються як раз там, де потрібно.