Для того, щоб довести сформульовану в § 3 теорему про існування рішення задачі Коші, спочатку необхідно розглянути доказ теореми Арцела. Попередньо введемо кілька визначень.
Визначення 1. Сімейство функцій називається рівномірно обмеженим на відрізку, якщо існує число таке що для будь-якої функції з цього сімейства і будь-якого з відрізка виконується
Як приклад розглянемо сімейство де - параметр сімейства. Так як для будь-якого числа буде, то вказане сімейство функцій буде рівномірно обмежена на всій дійсній осі. Навпаки, сімейство функцій не буде рівномірно обмеженим ні на якому відрізку, т. К. Для будь-якого числа знайдеться число і значення таке що буде.
Визначення 2. Функції сімейства називаються равностепенно безперервними на відрізку, якщо для будь-якого існує, таке що для будь-якої функції з сімейства і будь-яких двох точок і з відрізка, для яких виконується:, буде виконуватися нерівність.
Для прикладу візьмемо сімейство функцій. Тоді можна помітити що для будь-яких двох точок і виконується наступна оцінка:. В цьому випадку і не залежить від параметра сімейства. З іншого боку, для сімейства вийде
. Величина буде залежати від параметра сімейства, отже, сімейства не буде равностепенно безперервним.
Визначення 3. Послідовність функцій називається рівномірно збіжної на відрізку до граничної функції якщо для будь-якого знайдеться номер, такий що для всіх номерів і для будь-якого з відрізка виконується:.
Відомо, що якщо послідовність неперервних функцій рівномірно сходиться на деякому відрізку, то гранична функція цієї послідовності буде також неперервна на цьому відрізку. Якщо ж послідовність неперервних функцій сходиться, але не є рівномірно збіжної, то гранична функція може виявитися розривної. Так, всі функції послідовності безперервні на відрізку [0; 1], але ця послідовність не є рівномірно збіжної на цьому відрізку, і гранична функція виявляється розривної: